Números comlejos

Un número complejo se construye a partir de dos números reales a y b y un símbolo i. Este último tiene la propiedad de que su cuadrado es igual a -1; es decir i^2=-1 o equivalentemente, i es tal que i^2+1=0. Observemos que el símbolo i no puede ser un número real, pues sabemos que si u es un número real, entonces u^2\geq 0, y en consecuencia u^2+1\geq 1. Por lo tanto, para cualquier número real u, u^2+1 ¡nunca puede ser igual a cero!. En consecuencia tenemos un nuevo número, i, tal que resuelve la ecuación algebraica de segundo grado

x^2+1=0.

y tal número ¡no es un número real!.

Es a partir de este nuevo número, que no puede ser ninguno de los que conocemos hasta el momento, y que reselve la ecuación anterior, que construimos un nuevo conjunto de números, que llamaremos el conjunto de números complejos, al cual denotaremos mediante el símbolo \mathbb{C}.

Así, un número complejo será un número z el cual tiene la forma z=a+ib, donde a y b son cualquier  pareja de números reales. Por ejemplo, si tomamos a=5 y b=9, tenemos el número comlplejo

z=5+9i.

De esta forma,

\mathbb{C}=\left\{z\; | \; z=a+ib, \, a,b\in\mathbb{R}\right\}.

Dado un número complejo z=a+ib, el número a será llamado la parte real de z y la denotaremos como a=Re(z); mientras que al número b lo llamaremos la parte imaginaria de z y la notación que usaremos para este será b=Im(z).

Ejemplo. Para el número complejo z=-5+9i,

Re(z)=-5 e Im(z)=9.

ARITMÉTICA DE NÚMEROS COMPLEJOS
1.- SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS

dados los números complejos z=a+ib,                w=c+id, definimos su suma z+w de la siguiente forma. La parte real de z+w será igual a la suma de las partes reales de z y w, y la parte imaginaria de z+w será definida como la suma de las partes imaginarias de z y w. Es decir,

z+w=(a+c)+i(b+d).

Por ejemplo, si z=2+8i y w=-5+4i, entonces, al ser

2=Re(z), -5=Re(w) y 8=Im(z), 4=Im(w),

tenemos que

z+w=(2+(-5))+(8+4)i=-3+12i.

2.-  RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS

Dados los números complejos z=a+ib y w=c+id definimos la resta del modo siguiente. La parte real de z+w estará dada por la resta de las partes reales  a=Re(z), c=Re(w) de z y w y la parte imaginaria $Im(z+w)$ de z+w estará dada por la resta de las partes imaginarias  b=Im(z), d=Im(w) de z y w, respectivamente. En resumen,

z-w=(a-c)+(b-d)i

Si z=-2+8i y w=7-9i, entonces, al ser

z-w=(Re(z)-Re(w))+(Im(z)-Im(w))i,

tenemos que

z-w=(Re(z)-Re(w))+(Im(z)-Im(w))i=((-2)-(7))+((8)-(-9))i=(-2-7)+(8+9)i=-9+17i.

3.- MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Dados los números complejos z=a+ib y w=c+id, definimos el producto de ellos como

z\cdot w=(a+ib)\cdot (c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc).

Veamos que esta definición es bastanmte natural, pues

(a+ib)\cdot (c+id)=ac+iad+ibc+i^2bd=ac+i(ad+bc)-bd=(ac-bd)+i(ad+bc).

Al considerar los números complejos z=2-3i y w=4+5i, su producto ó multiplicación se calcula como sigue,

z\cdot w=(2-3i)\cdot (4+5i)=(2)(4)+i(2)(5)+i(-3)(4)+i^2(-3)(5)=8+10i-12i-(-15)=8-2i+15=23-2i.

4.- DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Antes de definir el cociente o división de dos números complejos, pondremos nuestra atención en dos conceptos que serán de utilidad para trabajar la división de números complejos. El primero de tales conceptos es el de conjugado complejo de un número complejo. Dado un número comlejo z=a+ib, definimos su conjugado complejo como el número complejo \overline{z} dado por

\overline{z}=a-ib.

Así, si z=4-7i, entonces a=Re(z)=4 y b=Im(z)=-7, por lo que

\overline z=a-ib=4-i(-7)=4+7i.

El segundo concepto que necesitamos es el de módulo de un número complejo z. Para definirlo, consideremos el número complejo z=a+ib. El módulo |z|, de z se define como

|z|=\sqrt{z\cdot \overline z}.

Observemos que

z\cdot \overline{z}

es igual a (a+ib)\cdot (a-ib), pero

(a+ib)(a-ib)=(a)(a)+i(a)(-b)+i(b)(a)+i^2(b)(-b)=a^2-abi+abi-(b)(-b)=a^2+b^2.

Por lo tanto, hemos probado que

z\cdot \overline z=a^2+b^2,

(el producto de un número complejo y su conjugado complejo es igual a la suma del cuadrado de su parte real y el cuadrado de su parte imaginaria),

es decir,

|z|^2=z\cdot \overline z=a^2+b^2.

Usaremos lo visto en los anteriores párrafos para calcular el cociente o división de dos números complejos z=a+ib y w=c+id, cuando w\neq 0.

En el cociente,

\frac{z}{w}

racionalizamos el denominador, multiplicando y dividiendo por \overline w, el conjugado complejo de w, obeteniendo,

\frac{z}{w}=\frac{z\overline w}{w\overline w}=\frac{z\overline w}{|w|^2}

que en términos de las partes real e imaginaria de z y w se escribe como

.\frac{z}{w}=\frac{z\overline w}{|w|^2}=\frac{(a+ib)(c-id)}{c^2+d^2}

Para calcular el cociente de dos números complejos podríamos usar la expresión anterior, por ejemplo si z=a+ib=5+2i y w=c+id=1+i, tendríamos que

\frac{z}{w}=\frac{5+2i}{1+i}=\frac{(5+2i)(1-i)}{1^2+1^2}=\frac{(5)(1)+i(5)(-1)+i(2)(1)+i^2(2)(1)}{2}=\frac{1-3i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i

Pero, quien esto escribe para tí, amable lector, sugiere realizar el procedimiento planteado, multip`licar y dividir por el complejo conjugado del núero complejo que se encuentra en el denominador, como lo haremos en el siguiente ejemplo.

 Tomemos z=-3-2i y w=4-8i y calculemos el cociente \frac{z}{w}. Para ello debemos realizar los siguientes cálculos

\frac{z}{w}=\frac{-3-2i}{4-8i}=\frac{(-3-2i)(\overline{4-8i})}{(4-8i)(\overline{4-8i})}=\frac{(-3-2i)(4+8i)}{(4-8i)(4+8i)}=\frac{(-3)(4)+(-3)(8)i+(-2)(4)i+i^2(-2)(8)}{4^2+8^2}=\frac{-12-24i-8i-(-16)}{80}=\frac{4-32i}{80}=\frac{4}{80}-\frac{32}{80}i=\frac{1}{20}-\frac{2}{5}i.

5.- PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

El conjunto de números complejos \mathbb{C} cumple con todas las propiedades conocidas de los números reales. Por completez enunciamos las propiedades para los números complejos. Primero veremos las propiedades para la suma de números complejos. S.1 Cerradura de la suma de números complejos. Dados  z=a+ib, w=c+id\in\mathbb{C}, se tiene que

z+w=(a+c)+(b+d)i\in\mathbb{C},

S.2 Conmutatividad de la suma. Dados z, w\in\mathbb{C}, se tiene que

 z+w=w+z,

S.3 Asociatividad de la suma de tres números complejos. Dados z,w,u\in\mathbb{C}, se cumple que

z+(w+u)=(z+w)+u. S.4 Existencia de neutro aditivo. Existe 0_\mathbb{C}\in\mathbb{C} tal que para cualquier  z\in\mathbb{C} se cumple que z+0_\mathbb{C}=z. Observemos que la única opción intuitivamente natural es tomar 0_\mathbb{C}=0+0i. Le dejamos al lector la tarea de verificar que este número complejo cumple la propiedad requerida. Por simplicidad, al neutro aditivo 0_\mathbb{C} lo denotaremos sin en subíndice \mathbb{C}, es decir, por 0.

S.5 Existencia de inverso aditivo. Para cada z\in\mathbb{C} existe un elemento w_z\in\mathbb{C} (el cual depende de z) tal que z+w_z=0.

La multiplicación o producto de dos números complejos cumple con las siguientes propiedades. Si lo pensamos con cuidado nos daremos cuenta que las siguientes propiedades para el producto son semejantes a aquellas que hemos visto para la suma. P1.- Cerradura del producto: Dados dos números complejos z,w, z\cdot w, el producto de ellos es también un número complejo; es decir, z\cdot w\in\mathbb{C}. P2.- Conmutatividad del producto.Para cualesquiera dos números complejos z,w, se satisface que  z\cdot w=w\cdot z.

P3.- Asociatividad del  producto de tres números complejos. Dados z,w,u\in\mathbb{C}, se cumple que

z\cdot (w\cdot u)=(z\cdot w)\cdot u. P4. Existencia de neutro multiplicativo. Existe un número complejo 1_\mathbb{C} tal que para cualquier número complejo z se satisface que 1_\mathbb{C}\cdot z=z. Si lo pensamos un poco, no tardamos en darnos cuenta que el neutro multiplicativo 1_\mathbb{C} debe estar dado por 1_\mathbb{C}=1+0i. El lector podrá verificar sin gran trabajo que éste número satisface la propiedad requerida. Para evitar estar escribiendo el subíndice \mathbb{C} al considerar el neutro multiplicativo, lo denotaremos simplemente por 1, en lugar de 1_\mathbb{C}. P5.- Existencia del inverso multiplicativo. Si z\in\mathbb{C} es no nulo, entonces existe un número complejo, el cual denotaremos por z^{-1} tal que z\cdot z^{-1}=1. En este caso hallar quien debe ser z^{-1} dado z no es tan simple, aunque pensándolo bien, quizá no sea tan complicado. Como se han dejado como ejercicios al lector las otras propiedades de los números complejos, podemos dedicarle un poco de tiempo a esta cuestión. Para hallar z^{-1}, supongamos que realmente existe dicho número complejo. Como z y z^{-1} son número complejos entonces es posible escribirlos como z^{-1}=x+iy y z=a+ib , respectivamente. Por la propiedad de que su producto debe ser igual al neutro multiplicativo, entonces cumplen la igualdad

(a+ib)(x+iy)=1,

intuitivamente, de lo que sabemos de la aritmética de los números reales, quizá el número que buscamos sea \frac{1}{a+ib}.

Observemos que \frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i

Si nuestra intuición fuese correcta, tendría que ocurrir que el número complejo que buscamos z^{-1}=x+iy esté dado por x+iy=\frac{1}{a+ib}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i. Dejemos al lector la tarea de verificar que nuestra intuición era correcta y que la igualdad (a+ib)(x+iy)=1 es cierta si tomamos x+iy=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i. Para terminar, no debemos perder de vista el hecho de que z\neq 0, por lo que a^2+b^2\neq 0. Es decir, ninguna de sus partes real a ni imaginaria b se anulan. Hasta el momento, hemos visto, por separado, las propiedades de la suma S1,…,S5 y las del producto P1,…,P5. Dichas propiedades, no relacionan la suma con el producto. La propiedad que las relaciona es la propiedad distributiva. D.- Propiedad distributiva. Dados los números complejos z,w,u, se satisface la igualdad

z(w+u)=zw+zu.

Al igual que en los números reales, esta es la propiedad que nos permite el proceso de factorización tan común en la aritmética como en el álgebra con las que estamos tan familiarizados y que en algún momento de nuestras vidas nos han hecho parafrasear al mismo Newton cuando estudió el movimeinto de un sistema SOL-TIERRA-LUNA, conocido entre los especialistas como el problema de tres cuerpos,… “el problema de tres cuerpos me provoca serios dolores de cabeza” .

De esta forma hasta el momento nos hemos concentrado en los aspectos aritméticos y algebraicos de los números complejos. Pero estos también tienen una muy interesante geometría, como veremos a continuación. “¿Cómo?” se preguntará el lector, “¿Tienen algún fundamento geométrico?”.

Veamos, aparte del símbolo i, se necesitan dos números reales a y b para determinar el número complejo $z=a+ib.$ Así, al número complejo le podemos asociar elpar ordenado de números reales (a,b), donde la primera entrada es la parte real de z, mientras que b, la parte imaginaria de z es la segunda entrada del par ordenado dao anteriormente. “¡Ah, caigo en la cuenta!”, exclamará el lector,  este par ordenado lo puedo visualizar como un vector \overline v en el plano, el cual está anclado en el origen,  o como un punto P.El punto P es el extremo opuesto al origen del vector. Es decir, el número complejo z=a+ib ¡está relacionado biunívocamente con un vector o un punto del plano!

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