Ecuaciones diferenciales exactas, no exactas y factor integrante

Antes de pasar al tema que nos interesa, las ecuaciones diferenciales exactas, recordemos algunos hechos básicos del cálculo diferencial e integral de una variable.

a.- Dada una función f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, se define  su diferencial como df=f'(x)dx.

b.- Una forma diferencial en \mathbb{R} es una expresión del tipo F(x)dx.

c. Una forma diferencial F(x)dx en \mathbb{R} se dice que es exacta si existe una función f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} tal que su diferencial es la forma diferencial dada, es decir, la función f es tal que  df=F(x)dx.

Por ejemplo, la forma diferencial 2xdx es exacta ya que la diferencial de la  función f(x)=x^2 está dada por df=f'(x)dx=2xdx.

Lo anterior se puede generalizar para el caso de funciones y formas diferenciales definidas en el plano.

d.- Definimos la diferencial  df de una función

f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

como

df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy.

La diferencial de la función f(x,y)=x^2y definida en el plano, está dada por

df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=\frac{\partial x^2y}{\partial x}dx+\frac{\partial x^2y}{\partial y}dy=2xydx+x^2dy.

e.- Una forma diferencial definida en el plano es una expresión de la forma

F(x,y)dx+G(x,y)dy

Las expresiones (2x^2\cos x )dx+xydy y xy\sin(2x)dx+2xydy son ejemplos de formas diferenciales definidas en el plano.

f.-Dada una forma diferencial F(x,y)dx+G(x,y)dy, definida en el plano  o en un subconjunto del plano se dice que esta es exacta si existe una función f definida en el plano o en un subconjunto de el tal que

df=F(x,y)dx+G(x,y)dy.

No es difícil convencerse que la forma diferencial en al plano 2xdx+2ydy es exacta, pues la función f(x,y)=x^2+y^2 es tal que

df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=\frac{\partial x^2+y^2}{\partial x}dx+\frac{\partial x^2+y^2}{\partial y}dy=2xdx+2ydy.

El siguiente resultado nos provee de condiciones necesarias y suficientes para que la forma diferencial df=F(x,y)dx+G(x,y)dy sea exacta.

TEOREMA: La forma diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy es exacta si y sólo si \frac{\partial M }{\partial y}=\frac{\partial N }{\partial x}.

Considere la forma diferencial definida en el plano dada por 2xdx+2ydy, ¿es exacta esta forma diferencial? Para contestar a esta pregunta observemos primero que M(x,y)=2x y N(x,y)=2y. Para que sea una forma diferencial exacta, por el teorema anterior,   basta mostrar que \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}. Pero es claro que ambas parciales se anulan, \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial 2x}{\partial y}=0 y \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial 2y}{\partial x}=0. Por tanto se saisface la condición \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}, y por el teorema anterior la forma diferencial 2xdx+2ydy es exacta.

Ejercicios: Determine  si las siguientes formas diferenciales son exactas

a)                  2xydx+x^2dy                         b)     3x(xy-2)dx+(x^3+2y)dy

c)                    (2x^3-xy^2-2y+3)dx-(x^2y+2x)dx

d)                  (\cos z+z\cos x)dx+(\sin x-x\sin z)dz

A continuación veamos un ejemplo donde, no solo justificaremos que una forma diferenial es exacta, sino también veremos la manera como se construye la función f en caso que la forma diferencial sea exacta.

Consideremos la forma diferencial 3x(xy-2)dx+(x^3+2y)dy. ¿esta forma diferencial es exacta? En caso positivo, ¿cómo construir una función f tal que su diferencial df sea igual a la forma diferencial dada?

En este ejemplo tenemos que M(x,y)=3x(xy-2)dx+(x^3+2y)dy y N(x,y)=x^3 + 2y. El lector podrá verificar sin dificultad que  para esta funciones se satisface la igualdad \frac{\partial M }{\partial y}=\frac{\partial N }{\partial x}. Como consecuencia del teorema anterior, tenemos que la forma diferencial dada es exacta, es decir existe una función dependiente de x y y, f(x,y) tal que

df=3x(xy-2)dx+(x^3+2y)dy.

Ahora al problema que debemos enfrentarnos es el de determinar dicha función f.

Sugerimos al lector que siga con mayor cuidado lo que sigue para que pueda comprender el método de construcción de dicha fucnión f.

Supongamos que f es tal que

df=3x(xy-2)dx+(x^3+2y)dy.

Pero,

df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy.

De estas dos últimas igualdades tenemos que

\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=3x(xy-2)dx+(x^3+2y)dy.

Por lo que  los coeficientes de dxdy deben ser iguales; es decir,

\frac{\partial f}{\partial x}=3x(xy-2)         (1)

y

\frac{\partial f}{\partial y}=x^3+2y.       (2)

Estas dos igualdades son la parte importante para la construcción de la función f buscada.

PRIMERA FORMA DE CONSTRUIR LA FUNCIÓN f:

Para realizar tal construcción tomemos, por ejemplo (1), la primera de estas dos últimas igualdades e integremos dicha igualdad con respecto de x, así

f(x,y)=\int \frac{\partial f}{\partial x}dx=\int 3x(xy-2)dx=\int 3x^2y-6x dx=x^3y-3x^2+h(y)

donde h(y) es la constante de integración. Como hemos integrado con respecto de x, la constante de integración debe ser constante con respecto de la variable x, pero puede depender de la variable y. En resumen, prácticamente hemos obtenido la función f, salvo el valor de la fucnión h(y),

f(x,y)=x^3y-3x^2+h(y).             (3)

De esta forma, para conocer completamente lstaa función f falta solamente hallar  la función h(y). Para terminar, calculemos la función h(y). Hasta el momento solo hemos usado la igualdad (1), ahora, de las igualdades  (2) y (3), tenemos que

x^3+2y=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial x^3y-3x^2+h(y)}{\partial y}=x^3+h'(y).

En consecuencia,

h'(y)=2y.

Integrando con respecto de y, se tiene que

h(y)=y^2+C.

En consecuencia

f(x,y)=x^3y-3x^2+h(y)=x^3y-3x^2+y^2+C,

y por lo tanto

f(x,y)=x^3y-3x^2+y^2+C.

El lector no debe olvidar verificar que, efectivamente, la diferencial de esta función es igual a la forma diferencial original 3x(xy-2)dx+(x^3+2y)dy.

SEGUNDA FORMA DE CONSTRUIR LA FUNCIÓN f:

En los párrafos anteriores para obtener la función f,  primero integramos la igualdad (1) con respecto de x, y en una primera expresión para la función f aparece una función h(y), la cual debimos calcular. Para lograr obtener la función h(y) se usó la ecuación (2).

Ahora, primero procedamos a integrar la ecuación (2) con respecto de la variable y, obteniendo una primera aproximación a la función f,

f(x,y)=\int\frac{\partial f}{\partial y}dy=\int x^3+2y dy=x^3y+y^2+k(x).

En resumen, una primera aproximación a la función f está dada por

f(x,y)=x^3y+y^2+k(x).       (4)

Para calcular la función k(x) y determinar completamente la función  f usaremos las ecuaciones (1)  y  (4).

De dichas ecuaciones tenemos que

3x^2y-6x=3x(xy-2)=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial x^3y+y^2+k(x)}{\partial x}=3x^2y+k'(x),

de esta forma,

k'(x)=-6x.

Integrando esta última igualdad con respecto de x se tiene que

k(x)=-3x^2+C.

En consecuencia

f(x,y)=x^3y+y^2+k(x)=x^3y+y^2-3x^2+C,

y por lo tanto, la función buscada está dada por

f(x,y)=x^3y+y^2-3x^2+C.

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Consideremos una ecuación diferencial de primer orden de la forma

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.       (5)

A la forma diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy le llamaremos la forma diferencial asociada a la ecuación diferencial.

Diremos que una ecuación diferencial de primer orden de la forma (5) es exacta si su forma diferencial asociada es una forma diferencial exacta.

De esta forma, si la ecuación diferencial  (5) es exacta, entonces su forma diferencial asociada M(x,y)dx+N(x,y)dy es exacta, y por tanto existe una función f(x,y) tal que df=M(x,y)dx+N(x,y)dy. En la primera parte de esta página hemos visto métodos para calcular dicha función f.

Mostremos que la familia de curvas de nivel

\mathcal{C}_K=\left\{f(x,y)=K, K\in \mathbb{R}\right\}              (S)

asociadas a la función f, (f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R})

son la familia de curvas solución de la ecuación diferencial exacta M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.

Para mostrar la validez de la afirmación anterior, calculemos la diferencial de los elementos que están a ambos lados de la  igualdad f(x,y)=K dada en (S), por lo que

df=dK.            (A)

Pero, por una parte, sabemos que la funciónf es tal que

df=M(x,y)dx+N(x,y)      (B)

y, por otra como $K$ es constante, se tiene que

dK=0.            (C)

Por lo tanto, de (A), (B) y (C), se tiene que

M(x,y)dx+N(x,y)=0.

En resumen, la familia de curvas de nivel asociadas a la fucnión f son las soluciones de la ecuación difeferncial exacta.

Ahora veamos un ejemplo. Consideremos la ecuación diferencial

  2xy\frac{dy}{dx}+y^2-2x=0.

¿Es esta una ecuación diferencial exacta? Primero escribámosla en la forma adecuada M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.

Si escribimos nuestra ecuación diferencial en esta forma, su presentación es la siguiente

2xydy+(y^2-2x)dx=0.

En esta ecuación tenemos que M(x,y)=y^2-2x y N(x,y)=2xy. Por lo que

\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial y^2-2x}{\partial y}=2y

y

\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial 2xy}{\partial y}=2y.

De esta forma

\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x},

y, por lo tanto, la ecuación diferencial es exacta.

Para resolver la ecuación diferencial exacta debemos

I.- Calcular f(x,y) tal que df= 2xydy+(y^2-2x)dx, y

II.- Determinar la familia de curvas de nivel \mathcal{C}_K=\left\{f(x,y)=K, K\in \mathbb{R}\right\}   asociadas a la función f. Estas representan a la familia de soluciones de la ecuación diferencial exacta.

Manos a la obra,

I.- Como la ecuación diferencial es exacta,  existe f tal que

df= 2xydy+(y^2-2x)dx,

pero

df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy.

De esta forma

\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=2xydy+(y^2-2x)dx,

como los coeficientes de dx y dy deben ser iguales, entonces

\frac{\partial f}{\partial x}=y^2-2x          (D)          y                     \frac{\partial f}{\partial y}=2xy        (E)

integrando con respecto de x la ecuación (D), tenemos que

f(x,y)=\int\frac{\partial f}{\partial x}dx=\int y^2-2x dx=xy^2-x^2+h(y),

es decir

f(x,y)=xy^2-x^2+h(y).

Usando esta igualdad y la ecuación (E), tenemos que

2xy=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial xy^2-x^2+h(y)}{\partial y}=2xy+h'(y),

y, por tanto

h'(y)=0.

De esta forma h(y) es una función constante, h(y)=C y podemos afirmar que

f(x,y)=xy^2-x^2+h(y)=xy^2-x^2+C,

o sea,

f(x,y)=xy^2-x^2+C.

II.- La familia de curvas solución de la ecuación diferencial exacta está dada por la ecuación f(x,y)=K, que en el caso que nos interesa está dada por

xy^2-x^2+C=K.

o,

xy^2-x^2=H.

Para terminar este ejemplo, verifiquemos que la familia de curvas, definidas implícitamente por la ecuación xy^2-x^2=H nos da la familia de soluciones de la ecuación diferencial.  Para ello, calculemos la diferencial de  los términos a ambos lados de la ecuación, obteniendo

d(xy^2-x^2)=dH.

Es claro que

dH=0

y

d(xy^2-x^2)=\frac{\partial xy^2-x^2}{\partial x}dx+\frac{\partial xy^2-x^2}{\partial y}dy

                                                            =(y^2-2x)dx+2xydy.

De estas últimas dos igualdades tenemos

(y^2-2x)dx+2xydy=0

y, por tanto, se satisface la ecuación diferencial.

ECUACIONES DIFERENCIALES NO EXACTAS Y FACTOR INTEGRANTE

Muchas veces una ecuación diferencial no es exacta, lo que puede parecer una dificultad  insalvable, pero no siempre este es el caso. En diversas ocasiones es posible transformar una ecuación diferencial

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0      (I)

no exacta , en una ecuación diferencial que sí lo sea. ¿Cómo podemos lograr esto?. Al multiplicar la ecuación (I) por una función  \mu adecuada y obtenener

\mu M(x,y)dx+\mu N(x,y)dy=0      (II)

 ésta puede resultar en una ecuación que sí sea exacta. ¿Cualquier función \mu sirve?. Nuestra intuicón nos indica seguramente que no cualquier función \mu será adecuada. ¿ Es posible determinar una metodología que nos proporcione alguna función $\latex \mu$ que sea apropiada? Trabajaemos en la búsqueda de dicha metodología.

Supongamos que la ecuación (I) no es exacta, pero queremos que la ecuación (II) sí lo sea; es decir,  deseamos se satisfaga la igualdad

\frac{\partial \mu M(x,y}{\partial y}=\frac{\partial \mu N(x,y}{\partial x}.       (III)

De entrada, la función \mu dependiese de las dos variable x y y, y pensamos un poco en la igualdad (III), esta se vería como una expresión bastante complicada. Para simplificar un poco dichos cálculos, que al menos mentalmente, nos parecen lejos de ser simples, supongamos que la función \mu depende solo de una de las variables x o y. Sin perder generalidad, supongamos que \mu=\mu(x). De esta forma, la ecuación (III) toma la forma

\frac{\partial \mu(x) M(x,y}{\partial y}=\frac{\partial \mu(x) N(x,y}{\partial x}.       (IV)

pero

\frac{\partial \mu(x) M(x,y}{\partial y}=\mu(x) \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}      (IVa)

y

\frac{\partial \mu(x) N(x,y}{\partial x}=\mu(x)\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}+N(x,y)\frac{\partial \mu(x)}{\partial x}.     (IVb)

De (IV), (IVa) y (IVb), se tiene que

\mu(x) \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\mu(x)\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}+N(x,y)\frac{\partial \mu(x)}{\partial x}

o equivalentemente

\mu(x) \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\mu(x)\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}=N(x,y)\frac{\partial \mu(x)}{\partial x},

es decir

\mu(x) \left\{\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}\right\}=N(x,y)\frac{\partial \mu(x)}{\partial x}.

Por lo tanto, si la función \mu(x) es tal que la ecuación diferencial (IV) es exacta, entonces \mu(x) debe satisfacer la ecuación diferencial

\displaystyle\frac{\frac{d\mu(x)}{dx}}{\mu(x)}=\frac{\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}}{N(x,y)}.

pero

\displaystyle \frac{d \ln \mu(x)}{dx}=\frac{\frac{d\mu(x)}{dx}}{\mu(x)},

por lo que

\displaystyle \frac{d \ln \mu(x)}{dx}=\frac{\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}}{N(x,y)}

y en consecuencia,

\displaystyle \ln \mu (x)=\int \frac{\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}}{N(x,y)}dx.

En resumen,

\displaystyle \mu (x)=\exp \left(\int \frac{\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}}{N(x,y)}dx\right)

EJEMPLO DE TRANSFORMACION DE UNA ECUACION NO EXACTA EN UNA ECUACION EXACTA Y SU SOLUCION

Como siempre que intentemos entender cualquier tema de las matemáticas,  debemos tener a nuestro lado papel y lápiz, con el fin de ir reconstruyendo, o mejor dicho, ir re-creando los pasos que se siguen ya sea en este blog, que es para tu uso, estimado lector, o de cualquier texto que se encuentre a tu disposición. No se está repitiendo,más bien debemos pensar en re-crear lo que está escrito y deseamos comprender.

Consideremos la ecuación diferencial de primer orden escrita en forma diferencial

(3xy+y^2)dx +(x^2+xy)dy=0    (I)

¿Es esta una ecuación diferencial exacta?

Verifique el lector que este no es el caso de la siguiente forma,

i) Identifique los factores M(x,y) de la diferencial dx y N(x,y) de la diferencial dy, y

ii) Muestre que las parciales \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} y \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} son diferentes.

Ahora veamos la manera de construir un factor $\mu(x)$ que nos permita obtener que la ecuación diferencial

\mu(x)(3xy+y^2)dx +\mu(x)(x^2+xy)dy=0      (II)

ya sea una ecuación diferencial exacta.

¿Cómo identificar dicho factor que nos permita volver la ecuación (I) que es no exacta en una ecuación exacta, la ecuación (II).?

DETERMINACION DEL FACTOR DE INTEGRACION

Observe el lector que deseamos que la ecuación (II) sea exacta. Para que esto ocurra la derivada parcial con respacto de y del factor \mu(x)(3xy+y^2) de la diferencial dx debe ser igual a la derivada parcial con respecto de x del factor \mu(x)(x^2+xy) de la diferencial dy, es decir,

\frac{\partial \mu(x)(3xy+y^2)}{\partial y}=\frac{\partial \mu(x)(x^2+xy)}{\partial x},

es decir,

\mu(x)(3x+2y)=\mu'(x)(x^2+xy)+\mu(x)(2x+y),

de esta forma,

\mu'(x)(x^2+xy)=\mu(x)(3x+2y)-\mu(x)(2x+y).

Así,

\mu'(x)(x^2+xy)=\mu(x)(x+y),

o equivalentemente

\mu'(x)(x(x+y))=\mu(x)(x+y),

de esta forma,

x\mu'(x)=\mu(x).    (III)

Es decir, para que la ecuación (II) sea exacta, la función \mu(x) debe satisfacer la ecuación (III), las cual es una ecuación de variables separadas, y que resolvemos como sigue

\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{1}{x}

pero la expresión del lado izquierdo de la igualdad no es más que

\frac{d\ln \mu}{dx},

por lo que

\frac{d\ln \mu}{dx}=\frac{1}{x},

e integrando ambas partes de la igualdad, obtenemos que

\ln \mu(x)=\ln x

y, por lo tanto el factor que nos permite  transformar la ecuación (I), que es no exacta en una ecuación que sí lo sea (ecuación (II)) es la función

\mu(x)=x.

Usted lector, tiene como pequeño ejercicio verificar que es exacta la ecuación (II) con \mu(x)=x,  la cual está dada por

x(3xy+y^2)dx +x(x^2+xy)dy=0,

o equialentemente, verificar que la ecuación diferencial

(3x^2y+xy^2)dx +(x^3+x^2y)dy=0,  (IV)

es una ecuación diferencial exacta.

SOLUCION DE LA ECUACIÓN EXACTA OBTENIDA

Ahora resolvamos la ecuación diferencial exacta (IV). Para ello debemos hallar una función f=f(x,y) tal que su diferencial sea igual a la diferencial en dos variables

(3x^2y+xy^2)dx +(x^3+x^2y)dy

asociada a la ecuación  diferencial (IV), es decir f debe ser tal que

df= (3x^2y+xy^2)dx +(x^3+x^2y)dy.        (V)

Pero

df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy         (VI).

De (V) y (VI) se tiene que

\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2y+xy^2 \hskip0.5cm {\mbox y} \hskip0.5cm \frac{\partial f}{\partial y}=x^3+x^2y         (VIII)

Para obtener una primera expresión para f(x,y), integremos con respecto de x la primera de las igualdades en (VIII) , por lo que se tiene

f(x,y)=\int \frac{\partial d}{\partial x}dx=\int 3x^2y+xy^2 dx+h(y)=x^3y+\frac{1}{2}x^2y^2+h(y).

Es decir,

f(x,y)=x^3y+\frac{1}{2}x^2y^2+h(y)      (IX)

Para determinar completamente la función f, debemos conocer a la función h(y) que aparece como constante de intregración en la igualdad anterior. Pero podemos obtener dicha función si hacemos uso de la segunda igualdad en (VIII) y de (IX),

x^3+x^2y=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial x^3y+\frac{1}{2}x^2y^2+h(y)}{\partial y}=x^3+x^2y+h'(y).

De esta última igualdad obtenemos que

h'(y)=0.

En consecuencia,

h(y)=constante=k

y, sustituyendo h(y)=k en (IX), obtenemos

f(x,y)=x^3y+\frac{1}{2}x^2y^2+k

y la solución de la ecuación diferencial exacta (IV) está dada por la familia de curvas planas definida por la ecuación implícita

f(x,y)=x^3y+\frac{1}{2}x^2y^2=C.