Ecuaciones diferenciales lineales 2do orden no homogéneas: coeficientes indeterminados o ¿podemos adivinar una solución?

 

 

En el siguiente archivo pdf encontrará un ejemplo de como se resuelve una ecuación diferenciales lineal de segundo orden no homogénea con condiciones iniciales de posición y velocidad:

 

y''(x)+5y'(x)+6y(x)=(x+1)\sin(x)  \hskip2cm y(0)=y'(0)=0

solución ejemplo

Debemos leer el archivo con cuidado y haciendo uso de papel y lápiz para llevar a cabo de manera simultánea los cálculos realizados, con el fin de lograr una mejor comprensión de la metodología usada para la solución del ejemplo propuesto.

Recordemos que para hallar la solución general y_g(x) de la ecuación diferencial lineal de segundo orden y no homogénea

y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)    (1)

requerimos de dos ingredientes:

i) La solución general y_h(x), de la ecuación lineal de segundo orden homogénea

y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0      (2)

Para calcular dicha solución requerimos de dos soluciones y_1(x)y_2(x) de (2) que sean linealmente independientes; es decir, tal que su wronskiano

W[y_1,y_2](x)=y_1(x)y_2'(x)-y_1'(x)y_2(x)

 

no se anule.

 

Así, la solución general y_h(x) de la ecuación homogénea (2) se puede escribir como combinación lineal de y_1(x) y de y_2(x); es decir, existen constantes c_1 y c_2 tales que

y_h(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x).

 

ii) Una solución particular y_p(x) de la ecuación no homogénea (1).

 

En el ejemplo a que se hace mención en esta entrada se hace uso del método de coeficientes indeterminados y que algún texto da en llamar de adivinación razonada o juiciosa.

 

Una vez que contamos con la solución genera

y_h(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)

de la ecuación homogénea y con una solución particular y_p(x) de la ecuación no homogénea (1),  tenemos que la solución general y_g(x) de la ecuación no homogénea (1) tiene la forma

 

y_g(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x),

donde las constantes c_1 y c_2 dependen de las condiciones iniciales y(x_o)=u_0 y y'(x_0)=v_0.

 

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