Ecuaciones reducibles a una ecuación de variables separables

En esta sección veremos distintos tipos de ecuaciones diferenciales que mediante cambios de variables pueden ser transformadas a ecuaciones de variables separables, uno de tales ejemplos son las llamadas ecuaciones homogéneas, que ya hemos visto en una sección dedicada exclusivamente a dichas ecuaciones diferenciales.

Comencemos con un problema, resolver la ecuación diferencial ordinaria

\frac{dx}{dt}=\frac{1}{x-2t}+1.    (1)

Si pensamos un poco como resolver esta ecuación diferencial y buscamos un posible cambio de variables, el primero que seguramente viene a la mente de usted, amable lector, es el dado por

u=x-2t.      (2)

Ahora, a partir de este, transformemos la ecuación diferencial (1) a las nuevas variables u,t. Para ello calculemos \frac{dx}{dt} en términos de \frac{du}{dt}. para ello, del cambio de variables propuesto tenemos que

\frac{du}{dt}=\frac{dx}{dt}-2,

de aquí, tenemos que

\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}+2      (3)

Sustituyendo la igualdad (3) y el cambio de variables (2) en la ecuación diferencial original (1), obtenemos lo siguiente

\frac{du}{dt}+2=\frac{1}{u}+1,

es decir,

\frac{du}{dt}=\frac{1}{u}-1.      (4)

La cual, claramente, ¡es una ecuación diferencial de variables separables.! Es decir, el cambio de variables que se propuso realmente funcionó.

Ahora solo resta

  • resolver la ecuación de variables separables, y
  • regresar el cambio de variables (2) para obtener la solución de la ecuación diferencial original, la ecuación (1).

 

Procedamos a resolver la ecuación diferencial de variables separables

\frac{du}{dt}=\frac{1}{u}-1.

Observemos que esta ecuación puede reescribirse como

\frac{du}{dt}=\frac{1}{u}-1=\frac{1-u}{u}

es decir,

\frac{u}{1-u}du=dt.       (5)

Procedamos a integrar la parte izquierda de la expresión anterior, es decir, a calcular

\int \frac{udu}{1-u}    (6)

Mediante el cambio de variable v=1-u, se tiene que

u=1-v y dv=-du

Así, la integral (6) está dada por

\int \frac{udu}{1-u}=-\int \frac{1-v}{v}dv=\int -\frac{1}{v}+1\; dv=-\ln v+v=\ln \frac{1}{v}+v=\ln\frac{1}{1-u}+1-u.

Además, la integral  en la parte derecha de (5) está dada por  \int \; dt=t+c . Por tanto,

\ln\frac{1}{1-u}+1-u=t+c.  (7)

Para terminar, debemos “regresar” el cambio de variable u=x-2t en (7), con lo que obtenemos la solución buscada,

\ln \frac{1}{1-(x-2t)}+1-(x-2t)=t+c,

es decir,

\ln \frac{1}{1-x+2t}+1-x+t=c

A partir de este ejemplo surge la interrogante de si una ecuación diferencial

\frac{dy}{dx}=f(x,y)      (A)

donde

f(x,y)=f(ax+by)      (B)

puede ser transformada en una ecuación de variables separables, como parece sugerir el problema que acabamos de resolver. Para responder esta interrogante, pensemos en un cambio de variables semejante al que acabamos de usar en el problema anterior, es decir,

u=ax+by        (C)

entonces

\frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx},

es decir,

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{b}\left(\frac{du}{dx}-a\right) .     (D)

Sustituyendo esta última expresión y el cambio de variable (C) en la ecuación diferencial (A) donde se satisface (B), se tiene que

\frac{1}{b}\left(\frac{du}{dx}-a\right)=f(u).

Esta ecuación diferencial puede reescribirse como

\frac{du}{dx}=bf(u)+a,

la cual es evidentemente ¡una ecuación de variables separables, tal como habíamos conjeturado ! otra forma que toma dicha ecuación diferencial está dada por

\frac{du}{bf(u)+a}=dx .

Al integrar esta última igualdad, tenemos que si \int \frac{du}{bf(u)+a}=A(u), entonces

A(u)=x+c,

y usando nuevamente el cambio de variables u=ax+by, obtenemos la solución buscada,

A(ax+by)=x+c.