ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

En esta entrada de nuestro blog consideraremos el estudio de ecuaciones diferenciales homogéneas. Para ello, primero repasaremos algunos conceptos que usaremos en esta sección.

 

Decimos que una función h:\mathbb{R}\to \mathbb{R} es homogénea de grado \lambda si h(as)=a^{\lambda}f(x).

Una ecuación diferencial de primer orden \frac{dy}{dy}=f(x,y) es homogénea si la función f(x,y)=h(\frac{y}{x}); es decir, si la ecuación diferencial tiene la forma

\frac{dy}{dx}=h(\frac{y}{x}).

estas ecuaciones diferenciales se pueden transformar en ecuaciones diferenciales de variables separables mediante un simple   cambio de variables.

De manera semejante a como definimos homogeneidad para una función revaluada de una variable real, decimos que  una función real valuada F=F(x,y) dependiente de las variables x, y, es homogénea de grado \lambda si

 F(ax,ay)=a^{\lambda}F(x,y).

Ejemplo 1.- La función F(x,y)= x^2+xy=x(x+y) es homogénea de grado 2, pues

F(ax,ay)=(ax)^2+(ax)(ay)=a^2x^2+a^2xy)=a^2(x^2+xy)=a^2F(x,y).

Decimos que la ecuación diferencial

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0           (1)

es homogénea si las funciones M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas, con el mismo grado de homogeneidad \lambda.

OBSERVACIÓN:

Al ser homogéneas ambas funciones M(x,y) y  N(x,y) se satisfacen las siguientes igualdades. En el caso de la función M(x,y),

 

M(x,y)=M(x,x(\frac{y}{x}))=M(x\cdot 1,x\cdot (\frac{y}{x}))=x^\lambda M(1,\frac{y}{x}).

De manera análoga, para N(x,y) se tiene que

N(x,y)=x^\lambda N(1,\frac{y}{x}).

 

Así, para la ecuación diferencial homogénea (1), se tiene que

0=M(x,y)dx+N(x,y)dy=M(1,\frac{y}{x}) dx+ N(1,\frac{y}{x})dy,

la cual puede reescribirse como

\frac{dy}{dx}=-\frac{M(1,\frac{y}{x})}{M(1,\frac{y}{x})}

por lo que toma la forma

\frac{dy}{dx}=h(\frac{y}{x}).

En resumen, hemos probado que:

Una ecuación diferencial homogénea

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

puede escribirse en la forma

\frac{dy}{dx}=h(\frac{y}{x}).    (2)

 

Ahora, veamos lo que se había comentado al inicio de esta sección, una ecuación diferencial de la forma (2), puede ser transformada en una ecuación de variables separables mediante un cambio de variables.

Así, tomemos el cambio de variables

u=\frac{y}{x}.      (3)

es decir,

y=xu(x).     (4)

Ahora veamos como se escribe la ecuación diferencial (2) bajo el cambio de variables (4).

De (4), tenemos que

\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u

por lo que usando (3), se tiene que (2) toma la forma

x\frac{du}{dx}+u=h(u),

o equivalentemente,

x\frac{du}{dx}=h(u)-u

es decir,

\frac{du}{dx}=\frac{h(u)-u}{x},

la cual evidentemente es una ecuación de variables separables. Observemos que esta última ecuación diferencial tiene la forma

\frac{du}{dx}=\frac{G(u)}{H(x)},

donde G(u)=h(u)-u y H(x)=x.

 

Ejemplo 2. Consideremos la ecuación diferencial \frac{dy}{dx}=\frac{3xy-y^2}{x^2}.

Observemos primero que podemos reescribir la ecuación diferencial como

\frac{dy}{dx}=\frac{3xy-y^2}{x^2}=3\frac{y}{x}-\left(\frac{y}{x}\right)^2=h(\frac{y}{x}),

donde

h(u)=3u-u^2.

Con el cambio de variables u=\frac{y}{x}, es decir, y=xu(x).

De esta forma, como sabemos que \frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u, entonces la ecuación diferencial anterior toma la forma

x\frac{du}{dx}=3u-u^2,

la cual no es más que la ecuación de variables separables

\frac{du}{dx}=\frac{3u-u^2}{x}.

que podemos escribir como

\frac{du}{3u-u^2}=\frac{dx}{x}

e integrar esta igualdad. Así

\int \frac{du}{3u-u^2}=\int \frac{dx}{x}

 

La integral de la derecha es simple,

\int \frac{dx}{x}=\ln x,     (5)

mientras que para la integral de la izquierda requerimos un poco de trabajo algebraico a través de las fracciones parciales

\frac{1}{3u-u^2}=\frac{1}{u(3-u)}=\frac{A}{u}+\frac{B}{3-u}=\frac{A(3-u)+Bu}{u(3-u)}

De esta forma,

1=A(3-u)+Bu.

Tomando u=3, tenemos que $B=1/3,$ mientras que si u=0, entonces también se tiene que A=1/3. Por tanto,

\frac{1}{3u-u^2}=\frac{1}{3}\frac{1}{u}+\frac{1}{3}\frac{B}{3-u}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{3-u}\right)

de esta forma,

\int \frac{1}{3u-u^2}du=\int \frac{1}{3}\left(\frac{1}{u}+\frac{B}{3-u}\right)du=\frac{1}{3}\left(\int \frac{1}{u}du+\int \frac{1}{3-u}du\right)=\frac{1}{3}\left(\ln u-\ln(3-u)\right)=\frac{1}{3}\ln\left(\frac{u}{3-u}\right)=\ln\left[\left(\frac{u}{3-u}\right)^{1/3}\right]+c_1       (6)

Igualando las integrales (5)  y (6) y haciendo uso de las propiedades de la fucnión exponencial tenemos que

x=c_2\left(\frac{u}{3-u}\right)^{1/3}.

Finalmente, regresando el cambio de variable u=\frac{y}{x} y con un poco de manipulaciones  algebraicas que usted estimado lector seguramente comprobará, tenemos que

x^3 \left(3x-y\right)=cy

es la solución buscada.

Ahora regresemos a ecuaciones diferenciales de primer orden

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

tales que las funciones M(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado lambda; es decir, a las ecuaciones homogéneas.

Como hemos visto, dichas ecuaciones homogéneas al escribirse en la forma \frac{dy}{dx}=h\left(\frac{y}{x}\right) pueden transformarse en ecuaciones de variables separables mediante el cambio de variable u=\frac{y}{x}.

Una pregunta que seguramente usted, estimado lector de este blog, se estará haciendo seguramente es la siguiente: “¿será posible resolver la ecuación diferencial homogénea sin escribirla en la forma anterior ?”

Para dar respuesta a esta interrogante, intentemos usar directamente el cambio de variable mencionado en la ecuación diferencial

(x^2-3t^2)dx+2xtdt=0.

Usted, lector, seguramente podrá mostrar que las funciones M(x,t)=x^2-3t^2 y N(x,t)=2xt son funciones homogéneas de grado 2 y, en consecuencia, la ecuación diferencial es homogénea.

Consideremos el cambio de variable u=\frac{t}{x}, es decir, t=xu. Como la ecuación diferencial original está escrita en forma diferencial en términos de x y t, ahora dicha ecuación diferencial debemos reescribirla en términos de x y u. Para ello, calculemos la diferencial de t, que está dada por

dt=xdu+udx.

sustituyendo esta expresión y el cambio de variables t=xu en la ecuación original, obtenemos

0=(x^2-3t^2)dx+2xtdt=(x^2-3(ux)^2)dx+2x(xu)(xdu+udx)=x^2(1-3u^2)dx+x^2(2u)(xdu+udx)=x^2\left[(1-3u^2)dx+2u(xdu+udx)\right]

en vista de lo anterior,

0=(1-3u^2)dx+2u(xdu+udx)=(1+2u^2-3u^2)dx+2xudu=(1-u^2)dx+2xudu

de lo que obtenemos la ecuación de variables separables dada por

\frac{dx}{x}+\frac{2u}{1-u^2}du=0,

la cual podemos integrar, obteniendo

\int\frac{dx}{x}+\int\frac{2u}{1-u^2}du=0,

la primera de dichas integrales es muy simple,

\int\frac{dx}{x}=\ln x+c_1,

al igual la segunda de la integrales \int\frac{2u}{1-u^2}du, para la cual requerimos usar el cambio de variables w=u^2, por lo que dw=2udu. Con esto la integral es inmediata,

\int\frac{2u}{1-u^2}du=\int \frac{dw}{1-w}=-\ln (1-w)+c_2=\ln \left(\frac{1}{1-w}\right)+c_2

usando el cambio de variables,

\int\frac{2u}{1-u^2}du=\ln \frac{1}{1-u^2}+c_2.

Al sumar ambas integrales, tenemos que

c=\ln x+\ln\frac{1}{1-u^2}=\ln\frac{x}{1-u^2}

y

C=\frac{x}{1-u^2}

Pero u=\frac{t}{x}, de donde

C=\frac{x}{1-u^2}=\frac{x}{1-\left(\frac{t}{x}\right)^2}=\frac{x}{\frac{x^2-t^2}{x^2}}=\frac{x^3}{x^2-t^2}.

Finalmente, la solución es una solución implícita y está dada por

C(x^2-t^2)=x^3.

Dejamos a usted, amable lector, el camino de

  • usar el cambio de variable v=\frac{x}{t}, junto con la diferencial dx=tdv+vdt  para transformar la ecuación diferencial (x^2-3t^2)dx+2xtdt=0 en una ecuación diferencial de variables separables.
  • Resolver la nueva ecuación de variables separables en las variables t y v
  • Hacer uso nuevamente del cambio de variables v=\frac{x}{t} para determinar la solución de la ecuación diferencial original (x^2-3t^2)dx+2xtdt=0.