Línea de fase, ecuaciones diferenciales autónomas

Se dice que la ecuación diferencial

\frac{dy}{dx}=f(x,y)

es autónoma si la fucnión f(x,y) depende exclusivamente de la variable dependiente y; es decir, si la ecuación diferencial toma la forma

\frac{dy}{dx}=f(y).

En caso contrario diremos que la ecuación diferencial es no autónoma.

Ejemplo 1. La ecuación diferencial \frac{dy}{dx}=x+2y es no autónoma, ya que en este caso,  f(x,y)=x+2y no depende solamente de la variable y, sino también de la variable independiente x.

Ejemplo 2.  La ecuación diferencial \frac{dy}{dx}=2y es autónoma, ya que en este caso,  f(x,y)=f(y)=2+2y depende solamente de la variable y.

En el caso de una ecuación diferencial autónoma, el estudio de la función f(y) nos permite obtener información geométrica y cualitativa de las soluciones de la ecuación diferencial autónoma asociada

\frac{dy}{dx}=f(y).

El lector se preguntará intrigado, ¿cómo es posible obtener información acerca de las soluciones de la ecuación diferencial sin resolverla?. Para ver esto usaremos la herramienta poderosa que conocemos de nuestros cursos elementales sobre la graficación de funciones, ya sea en un curso de precálculo, o en uno de cálculo diferencial.

Una función f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} la podemos pensar como un campo vectorial sobre la recta de números reales, donde a cada punto y\in\mathbb{R} le asociamos el vector f(x) como se muestra en la figura siguiente

 LineaFaseA

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