Ecuaciones diferenciales de Variables Separables

Una ecuación diferencial de primer orden

\frac{dy}{dx}=f(x,y)             (1)

se dice que es una ecuación de variables separables o con variables separadas si tiene la forma

\frac{dy}{dx}=\frac{G(x)}{H(y)}.             (2)

Ejemplo 1

Las ecuaciones diferenciales

\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}, \;\;\; \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\sin(x)

son ejemplos de ecuaciones de variables separables. En el primer caso f(x,y)=\frac{x}{y}=\frac{G(x)}{H(y)} con G(x)=x y H(y)=y; mientras que en el segundo f(x,y)=\frac{x}{y}\sin(x)=\frac{G(x)}{H(y)} con G(x)=x\sin(x) y H(y)=y.

Ejemplo 2

Las ecuaciones diferenciales

\frac{dy}{dx}=\frac{x\sin(xy)}{y}, \frac{dy}{dx}=\frac{\ln xy}{y}\sin(x)

no son ecuaciones de variables separables.

Ahora veamos como se resuelve una ecuación diferencial de variables separables o separadas.

Ejemplo 3

Consideremos la ecuación diferencial

\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.

Observemos que es una ecuación de variables separables. En este ejemplo,  F(x)=-x, G(y)=y. La ecuación diferencial puede reescribirse como

ydy=-xdx,

y al integrar esta igualdad obtenemos \int ydy=\int xdx, de donde

 \frac{y^2}{2}=-\frac{x^2}{2}+k_1,

o equivalentemente

 x^2+y^2=k.

Esta ecuación representa a una familia de soluciones,  cuyos elementos son todas las circunferencias centradas en el origen.

 Ejemplo 4

Resolver la  ecuación diferencial

e^x\frac{dy}{dx}-\frac{x}{2+y^2}=0.

Dicha ecuación la podemos reescribir como

e^x\frac{dy}{dx}=\frac{x}{2+y^2}.

o, equivalentemente

\frac{dy}{dx}=\frac{e^{-x}x}{2+y^2}.

De la expresión anterior vemos que F(x)=xe^{-x} y G(y)=2+y^2.

Para resolverla, la reescribimos como

(2+y^2)dy=xe^{-x}dx,

y posteriormente procedemos a integrar esta igualdad

\int (2+y^2)dy=\int xe^{-x}dx,

la primera integral es simple

\int 2+y^2dy=2y+\frac{y^3}{3}+c_1,

mientas que la segunda integral \int xe^{-x}dx se calcula mendiante integración por partes: \int udv=uv-\int vdu, tomando u=x, dv=e^{-x}dx, por lo que du=dx, v=-e^{-x}. De esta forma,

\int xe^{-x}dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x}+c_2=-e^{-x}\left(1+x\right)+c_2,

por lo que, al igualar ambas integrales,  obtenemos

2y+\frac{y^3}{3}+c_1=-e^{-x}\left(1+x\right)+c_2.

En consecuancia, la solución se expresa implícitamente por

2y+\frac{y^3}{3}+e^{-x}\left(1+x\right)+C=0.

Aún cuando las ecuaciones de variables separables no son complicadas en su solución (las complicaciones que surgen se deben a la misma dificultad de las integrales involucradas), son un ejemplo del tipo de ecuaciones diferenciales que modelan problemas de muy distinta índole, que van del decaimiento radiactivo, a la dinámica de poblaciones en sus modelos malthusiano y logístico, problemas de enfriamiento y transmisión de enfermedades, entre otros. Algunos ejemplos de este tipo de modelos los puede encontrar el lector en la sección

Modelado y solucion de ecuaciones diferenciales de primer orden

La siguiente liga conduce a ejercicios de ecuaciones de variables separables y ejercicios de ecuaciones lineales de primer orden

EJERCICIOS_VarSepYlineales

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