Transformada de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Para una función f:[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R} se define la transformada de Laplace de f como la \textbf{integral impropia}  definida en el dominio semiacotado   [0,\infty), dada por

\mathcal{L}(f(t))(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)dt,

siempre y cuando esta integral sea convergente

Para aclarar la notación que usaremos, las funciones a las cuales calcularemos su transformada de Laplace las denotaremos por minúsculas f, g, h..., mientras que sus respectivas transformadas de Laplace se denotarán con mayúsculas,

F(s)=\mathcal{L}(f(t))(s), G(s)=\mathcal{L}(g(t))(s), \dots

Transformada 1 (Transformada de Laplace de una constante).

Un ejemplo simple se refiere a las funciones más simples que conocemos, las fucniones constantes f(t)=c. Su transformada de Laplace se calcula como sigue

\mathcal{L}(c)(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} cdt=\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{0}^{a}e^{-st}cdt=c\lim_{a\rightarrow\infty}\left[-\frac{1}{s}e^{-st} \right]_{t=0}^{a}=-\frac{c}{s}\lim_{a\rightarrow\infty}\left[e^{-st} \right]_{t=0}^{a}=-\frac{c}{s}\lim_{a\rightarrow\infty}\left[e^{-sa}-1 \right],

pero \lim_{a\rightarrow \infty}{e^{-sa}}=0 siempre que s>0. De esta forma,

\mathcal{L}(c)(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} cdt=\frac{c}{s}

cuando s>0. Es decir, para

f(t)\equiv c,

se tiene que

F(s)=\frac{c}{s}

en caso que s>0.

Transformada 2 (Transformada de Laplace de la identidad)

Si tomamos la función identidad, f(t)=t, entonces

\mathcal{L}(t)(s)=\int_{0}^{\infty} te^{-st} cdt=\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{0}^{a}te^{-st}dt,

Usando integración por partes, con

u=t, \; dv=e^{-st}dt

se obtiene

du=dt, \;v=-\frac{1}{s}e^{-st}, y por tanto

\int te^{-st}dt=-\frac{t}{s}e^{-st}+\int \frac{1}{s}e^{-st}dt=-\frac{t}{s}e^{-st}- \frac{1}{s^2}e^{-st}dt

y

\int_{0}^{a} te^{-st}dt=\left[-\frac{t}{s}e^{-st}- \frac{1}{s^2}e^{-st}\right]_{t=0}^{a}=\left[-\frac{a}{s}e^{-sa}- \frac{1}{s^2}e^{-as}\right]-\left[-0- \frac{1}{s^2}\right].

 Finalmente,

\mathcal{L}(t)(s)=\int_{0}^{\infty} te^{-st} cdt=\lim_{a\rightarrow\infty}\left[-\frac{a}{s}e^{-sa}- \frac{1}{s^2}e^{-as}\right]-\left[-0- \frac{1}{s^2}\right]=\frac{1}{s^2},

esta última igualdad se debe al hecho que \lim_{a\rightarrow\infty}\frac{a}{s}e^{-sa}=\lim_{a\rightarrow\infty} \frac{1}{s^2}e^{-as}=0 si s>0.

En resumen, la transformada de Laplace de la función identidad

f(t)=t

está dada por

F(s)=\frac{1}{s^2}, \hskip1cm \mbox{para}\hskip1cm s>o.

Una propiedad que resultará de suma utilidad en el cálculo de transformadas de Laplace es su linealidad

Linealidad de la transformada de Lapalace:

Si f(t) y g(t) son tales que sus transformadas de Laplace existen, entonces

latex \mathcal{L}((af+bg)(t))(s)=a\mathcal{L}(f(t))(s)+b\mathcal{L}(g(t))(s)

para cualesquiera constantes a,b.

 Transformada 3 (Transformada de Laplace de una exponencial)

Los siguientes cálculos muestran que si

f(t)=e^{\alpha t}

entonces

F(s)=\frac{1}{s-\alpha}.

\mathcal{L}(e^{\alpha t})(s)=\int_{0}^{\infty} e^{\alpha t}e^{-st} dt=\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{0}^{a}e^{-(s-\alpha)t}dt\linebreak =\lim_{a\rightarrow\infty}\left(- \frac{1}{s-\alpha}e^{-(s-\alpha)t}\right)\big|_{t=0}^{a}=\frac{1}{s-\alpha},

observemos que para que el último límite exista es necesario que \alpha< s.

Consecuencia 1.

Si reemplazamos \alpha por -\alpha en el anterior ejemplo, tenemos que la transformada de Laplace de la función

f(t)=e^{-\alpha}

está dada por

F(s)=\frac{1}{s+\alpha}.

Consecuencia 2 (Transformada de Laplace de \sinh(at) y \cosh (at)).

Usando la linealidad de la transformada de Laplace y el Ejemplo 3 es posible calcular las transformadas de Laplace de las funciones hiperbólicas \sinh (at) y \cosh (at) mediante las expresiones

\sinh (at)=\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}    y   \cosh (at)=\frac{e^{at}+e^{-at}}{2}

Un cálculo directo muestra

\mathcal{L}(\sinh (at))(s)=\mathcal{L}(\frac{e^{at}-e^{-at}}{2})(s)=\frac{1}{2}\mathcal{L}(e^{at}-e^{-at})(s)=\frac{1}{2}\left(\mathcal{L}(e^{at})(s)-\mathcal{L}(e^{-at})(s)\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s+a}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{s+a}{(s-a)(s+a)}-\frac{s-a}{(s+a)(s-a)}\right)=\frac{(s+a)-(s-a)}{(s-a)(s+a)}=\frac{1}{2}\frac{2a}{s^2-a^2}=\frac{a}{s^2-a^2}.

Aconsejo al lector que muestre la validez de la igualdad

\mathcal{L}(\cosh (at))(s)=\frac{s}{s^2-a^2}.

Consecuencia 3 (Transformada de Laplace de \sin(at) y \cos (at)).

Para calcular las transformadas de Laplace de \sin(at) y \cos (at) podemos  hacer uso de las igualdades

\cos at=\frac{e^{iat}+e^{-iat}}{2}

 y

      \sin at=\frac{e^{iat}-e^{-iat}}{2i}

y un poco de aritmética de números complejos.

Siguiendo las ideas usadas en el Ejemplo anterior (Consecuencia 2), lo que el lector debe obtener son las expresiones

\mathcal{L}(\cos at)(s)=\frac{s}{s^2+a^2}

     y

\mathcal{L}(\sin at)(s)=\frac{a}{s^2+a^2}

Primer propiedad de corrimiento o traslación

Esta propiedad de corrimiento la podemos interpretar de la siguiente forma: si conocemos la transformada de Laplace F(s) de una función f(t), entonces es posible calcular la transformada de Laplace del producto de f(t) por una función exponencial e^{at}. Es decir, podemos obtener \mathcal{L}(f(t)e^{at})(s).

Esta propiedad establece que

\mathcal{L}(f(t)e^{at})(s)=F(s-a).

Observemos que la parte derecha de esta igualdad consiste de un corrimiento o traslación horizontal de la función F(s), de ahí el nombre de primer propiedad o teorema de corrimiento o de traslación.  Esto significa que más adelante nos encontraremos con una segunda propiedad de corrimiento.

Uso del primer teorema de corrimiento en un ejemplo:

Como la transformada de Laplace de f(t)=t es la función F(s)=\frac{1}{s^2}, entonces podemos calcular la transformada de Laplace de la función te^{2t}. Notemos que en esta caso, a=2.

Por la primer propiedad de corrimiento tenemos que

\mathcal{L}(te^{2t})=F(s-2)=\frac{1}{(s-2)^2}.

Un segundo y tercer ejemplo del uso del primer teorema de corrimiento

Dado que sabemos que

\mathcal{L}(\cos at)(s)=\frac{s}{s^2+a^2}

y

\mathcal{L}(\cos at)(s)=\frac{a}{s^2+a^2},

entonces el lector podrá calcular las transformadas de Laplace de

\mathcal{L}(e^{bt}\cos at)(s)

y

\mathcal{L}(e^{bt}\sin at)(s)

y mostrar que dichas transformadas de Laplace  están dadas, respectivamente, por las expresiones

\mathcal{L}(e^{bt}\cos at)(s)=\frac{s-b}{(s-b)^2+a^2}

y

\mathcal{L}(e^{bt}\sin at)(s)=\frac{a}{(s-b)^2+a^2},

respectivamente.

Asimismo, podrá mostrar las  igualdades

\mathcal{L}(e^{bt}\cosh at)=\frac{s-b}{(s-b)^2+a^2}

y

\mathcal{L}(e^{bt}\sinh at)=\frac{a}{(s-b)^2+a^2}.

Transformada de Laplace y ecuaciones diferenciales: un primer acercamiento

Consideremos que deseamos determinar la solución de la ecuación diferencial

y'+5y=1+t

A propósito, en este momento no establecemos ningún tipo de condición inicial. El lector se dará cuenta renglones más  adelante del porqué hacemos esto.

Apliquemos la transformada de Laplace a esta ecuación diferencial. Debido a la linealidad de la transformada de Laplace obtenemos

\mathcal{L}(1+t)=\mathcal{L}(y'(t))(s)+5\mathcal{L}(y(t))(s).

Como

Y(s)=\mathcal{L}(y(t))(s)

y

\mathcal{L}(t+1)(s)=\mathcal{L}(t)(s)+\mathcal{L}(1)(s)=\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s}

obtenemos

\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s}=\mathcal{L}(y'(t))(s)+5Y(s).       (*)

La pregunta que seguramente rondará la mente de usted, lector, será del estilo:

¿Quén es \mathcal{L}(y'(t))(s) la transformada de  Laplace de y'(t)?

Para contestar a nuestra interrogante hagamos uso de la única herramienta que tenemos a nuestro alcance, ¡la definición de transformada de Laplace como una integral impropia!.

De esta forma, la

Transformada de Laplace de la derivada de una función:

se calcula como sigue

\mathcal{L}(y'(t))(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y'(t)dt=\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{0}^{a}e^{-st}y'(t)dt.

Para el cálculo de la integral vemos que la integración por partes (\int vdu=uv-\int vdu) es el camino adecuado:

u=e^{-st},\; dv=y'(t)dt

y en consecuencia

du=-se^{-st}dt

y

v=y(t).

De esta forma

\int_{0}^{a}e^{-st}y'(t)dt=\left[y(t)e^{-st}\right]_{0}^{a}+s\int_{0}^{a}y(t)e^{-st}dt=\left[y(a)e^{-sa}-y(0)\right]+s\int_{0}^{a}y(t)e^{-st}dt

y

\mathcal{L}(y'(t))(s)=\lim_{a\rightarrow\infty}\left(\left[y(a)e^{-sa}-y(0)\right]+s\int_{0}^{a}y(t)e^{-st}dt\right)=\lim_{a\rightarrow\infty}\left[y(a)e^{-sa}-y(0)\right]+s\int_{0}^{\infty}y(t)e^{-st}dt=\left[\lim_{a\rightarrow\infty}y(a)e^{-sa}\right]-y(0)+s\int_{0}^{\infty}y(t)e^{-st}dt=\left[\lim_{a\rightarrow\infty}y(a)e^{-sa}\right]-y(0)+s\mathcal{L}(y(t))(s)=\left[\lim_{a\rightarrow\infty}y(a)e^{-sa}\right]-y(0)+sY(s).

Pero al ser f(t) una función de crecimiento exponencial \lim_{a\rightarrow\infty}y(a)e^{-sa}=0 siempre que s>0.

Por lo tanto

\mathcal{L}(y'(t))(s)=sY(s)-y(0) siempre que s>0.

Lo anterior nos muestra que para calcular la transformada de Laplace de la derivada y'(t) de una función y(t) debo conocer la transformada de Laplace Y(s) de la función y(t) y el valor de y(t) en t=0. Por esto, aunque no habíamos establecido una condición inicial en la ecuación diferencial y'+5y=t+1, ahora sabemos que si deseamos usar la transformada de Laplace para resolverla, ¡debemos establecer la condición inicial en el instante t=0.!

Regresando a la ecuación diferencial

y'+5y=1+t.,

pongamos ahora una condición inicial, y(0)=1  (pudimos haber elegido cualquier otro valor.)

Después de usar la transformada de Laplace se obtuvo la ecuación (*), que por completez, reproducimos a continuación

\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s}=\mathcal{L}(y'(t))(s)+5Y(s).

Como consecuencia de la expresión para transformada de Laplace para la derivada de una función, obtenemos

\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s}=sY(s)-y(0)+5Y(s)=(s+5)Y(s)-y(0)=(s+5)Y(s)-1.

Por lo tanto,

Y(s)=\frac{1}{s+5}\left(\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s}+y(0)\right)=\frac{1}{s^2(s+5)}+\frac{1}{s(s+5)}+\frac{y(0)}{s+5}=\frac{1}{s^2(s+5)}+\frac{1}{s(s+5)}+\frac{1}{s+5}.

Es decir,

Y(s)=\frac{1}{s^2(s+5)}+\frac{1}{s(s+5)}+\frac{y(0)}{s+5}=\frac{1}{s^2(s+5)}+\frac{1}{s(s+5)}+\frac{1}{s+5}.

Finalmente, para determinar la solución al problema con condición inicial

y'+5y=1+t, \hskip2cm y(0)=1

debemos encontrar una función y(t) tal que su transformada de Laplace sea la función Y(s)=\frac{1}{s^2(s+5)}+\frac{1}{s(s+5)}+\frac{1}{s+5}.

Para resolver esta última cuestión, pensemos,… ¿dónde he visto antes una expresión de este estilo? mmmmm…., ¡sí!, ¡lo recuerdo!, al calcular integrales. ¿Cómo calculaba integrales de esta forma?….¡claro!, usaba fracciones parciales para obtener expresiones más simples que pudiesen ser más fácilmente integrables, aunado al hecho de que la integral es un operador lineal. No olvidemos que la transformada de Laplace es también un operador lineal, por lo que si logramos obtener funciones que tengan como transformada de Laplace, respectivamente, a las funciones \frac{1}{s^2(s+5)},  \frac{1}{s(s+5)}\frac{1}{(s+5)} habremos terminado.

Primero simplifiquemos las expresiones mediante fracciones parciales

i) \frac{1}{s^2(s+5)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^2}+\frac{D}{s+5}=\frac{As(s+5)+(Bs+C)(s+5)+Ds^2}{s^2(s+5)}

de donde 1=As(s+5)+(Bs+C)(s+5)+Ds^2.

Si en la expresión anterio tomo

ia) s=0, tenemos que 1=5C, por lo que C=\frac{1}{5}

ib) s=-5, entonces 1=25D y D=\frac{1}{25}

De esta forma, ahora tenemos

1=As(s+5)+(Bs+\frac{1}{5})(s+5)+\frac{1}{25}s^2.

si desarrollamos la expresión a la derecha obtenemos

1=(A+B+\frac{1}{25})s^2+(\frac{1}{5}+5B)s+(5A+1)

de donde se deben satisfacer las ecuaciones

A+B+\frac{1}{25}=0,\hskip1cm \frac{1}{5}+5B=0,         y        5A+1=1.

De la última ecuación es claro que A=0, y la primera o la segunda ecuaciones implican que B=-\frac{1}{25}.

En resumen,

A=0, \; B=-\frac{1}{25}, \; C=\frac{1}{5}    y     D=\frac{1}{25}

En consecuencia,

\frac{1}{s^2(s+5)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^2}+\frac{D}{s+5}=\frac{-\frac{1}{25}s+\frac{1}{5}}{s^2}+\frac{\frac{1}{25}}{s+5}=-\frac{1}{25}\frac{1}{s}+\frac{1}{5}\frac{1}{s^2}+\frac{1}{25}\frac{1}{s+5}.

De esta forma,debido a la linealidad de la transformada de Laplace, aunado al hecho de que

\mathcal{L}(1)(s)=\frac{1}{s}, \hskip0.5cm \mathcal{L}(t)(s)=\frac{1}{s^2}\hskip0.5cm \mbox{y}\hskip0.5cm \mathcal{L}(e^{-5t})(s)=\frac{1}{s+5}

proponemos la función

g(t)=-\frac{1}{25}+\frac{1}{5}t+\frac{1}{25}e^{-5t}

ya que su transformada de Lapace es la función

G(s)=-\frac{1}{25}\frac{1}{s}+\frac{1}{5}\frac{1}{s^2}+\frac{1}{25}\frac{1}{s+5},

como puede comprobar el lector con un cálculo directo.

Con lo anterior hemos construido ua función g(t) tal que su transformada de Laplace es la función G(s)=\frac{1}{s^2(s+5)}=-\frac{1}{25}\frac{1}{s}+\frac{1}{5}\frac{1}{s^2}+\frac{1}{25}\frac{1}{s+5}.

Ahora buscaremos una función h(t) tal que su transformada de Laplace sea igual a la función H(s)=\frac{1}{s(s+5)}. Para lograr esto, recurrimos nuevamente a las fracciones parciales.

ii) \frac{1}{s(s+5)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+5}=\frac{A(s+5)+Bs}{s(s+5)}, por lo que 1=A(s+5)+Bs, y en consecuencia,

iia) al tomar s=0, se tiene que 1=5A y A=\frac{1}{5}.

iib) al tomar s=-5, tenemos que 1=-5B y B=-\frac{1}{5}

\frac{1}{s(s+5)}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s+5}

Como sabemos, F_1(s)=\frac{1}{s} y F_2(s)=\frac{1}{s+5} son las transformadas de Laplace de las funciones f_1(t)=1 y f_2(t)=e^{-5t}, entonces, por la linealidad de la transformada de Laplace,  la función

h(t)=\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{1}{5}e^{-5t} tiene como transformada de Laplace a la función H(s)=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s+5}.

iii) Como ya hemos visto, si tomamos k(t)=e^{-5t}, su transformada de Laplace es la función K(s)=\frac{1}{s+5}.

Finalmente, si tomamos y(t)=g(t)+h(t)+k(t), entonces su transformada de Laplace está dada por la función

Y(s)=G(s)+H(s)+K(s)=\frac{1}{s^2(s+5)}+\frac{1}{s(s+5)}+\frac{1}{s+5}.

\vskip2cm

Estimado lector, hasta el momento se han dado distintos resultados sobre la transformada donde la presentación has sido dirigida por quien esto escribe. Le invito a leer la siguiente Presentación en pdf sobre los siguientes aspectos de la transformada de Laplace:

* Segundo teorema de traslación o de corrimiento.

* Uso de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales

* Derivada de una transformada de Laplace

* Convolución de dos funciones

* Teorema de Convolución

* Transformada de Laplace de funciones periódicas

* Función delta de Dirac

* Transformada de Laplace de la función delta de Dirac

* Soluciones de ecuaciones diferenciales que involucran la delta de Dirac.

En esta presentación le invito a llenar los detalles que no se dan explícitamente, pero que seguramente usted podrá llenar con un trabajo constante.

TRANSFORMADA DE LAPLACE

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2 comentarios en “Transformada de Laplace

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