Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de segundo orden

Consideremos la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden

y''+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0.                     (A)

Sea V el conjunto de todas las soluciones de (A) definidas en un intervalo (\alpha, \beta).

Los siguientes hechos se mostrarán sin demostración. Nos permitirán establecer una matodología para calcular la solución general y_h(x) de la ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea.

HECHO 1: La suma y_1(x)+y_2(x) de dos soluciones y_1(x) y y_2(x) de (A) es también solución de (A).

HECHO 2: El producto escalar ay_1(x) de una solución y_1(x) de (A) y un escalar a es también una solución de (A).

Por los hechos anteriores se tiene que si consideramos a los elementos de V como vectores entonces, de los dos hechos anteriores, tenemmos definidas las operaciones de suma de vectores y producto de un vector por un escalar en V.

HECHO 3: El conjunto V tiene estructura de espacio vectorial.

Dadas dos soluciones y_1(x) y y_2(x) de (A), definidas en un intervalo  (\alpha, \beta), definimos el wronskiano asociado a ambas soluciones como la función dada por

W[y_1,y_2](x)=Det\left( \begin{array}{cc} y_1(x) & y_2(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) \\ \end{array} \right)=y_1(x)y_2'(x)-y_1'(x)y_2(x).

HECHO 4: El wronskiano W[y_1,y_2](x) de dos soluciones y_1(x) y y_2(x) de (A). definidas en un intervalo (\alpha,\beta) satisface una y sólo una de las siguientes dos afirmaciones:

(i)  W[y_1,y_2](x) se anula idénticamente en el intervalo (\alpha,\beta), o

(ii)  W[y_1,y_2](x) nunca se anula en el intervalo (\alpha,\beta).

Se dice que dos elementos de V, es decir,  dos soluciones y_1(x) y y_2(x) de (A) definidas en un inetervalo (\alpha,\beta) son linealmente independientes si al tomar cualquier combinación lineal de ellas e igularla a la función idéntiamente nula,

c_1y_1(x)+c_2y_2(x)=0

entonces los coeficientes c_1 y c_2 se anlan simultáneamente.

Se dice que dos elementos de V, es decir,  dos soluciones y_1(x) y y_2(x) de (A) definidas en un inetervalo (\alpha,\beta) son linealmente dependientes si al tomar cualquier combinación lineal de ellas e igularla a la función idéntiamente nula,

c_1y_1(x)+c_2y_2(x)=0,

entonces al menos uno de los coeficientes c_1 o c_2 no se anula.

HECHO 5: Dos soluciones y_1(x) y y_2(x) de (A) definidas en un inetervalo (\alpha,\beta) son linealmente dependientes si y sólo si una ellas es un múltiplo escalar de la otra.

HECHO 6: Si el wronskiano W[y_1,y_2](x) de dos soluciones y_1(x) y y_2(x) de (A) definidas en un inetervalo (\alpha,\beta) se anulan e al menos un punto del intervalo (\alpha,\beta), entonces las dos soluciones son linealmente dependientes y, en consecuencia, una es múltiplo escalar de la otra.

HECHO 7: El wronskiano W[y_1,y_2](x) de dos soluciones y_1(x) y y_2(x) de (A) definidas en un inetervalo (\alpha,\beta)  no se anulaen al menos un punto del intervalo  (\alpha,\beta), sí y sólo si las dos soluciones son linealmente independientes.

HECHO 8:  El espacio vectorial V, de soluciones de (A), definidas en un intervalo (\alpha,\beta) es un espacio vectorial bidimenaional.

Al ser un espacio vectorial de dimensión 2, el conjunto V de soluciones de (A) se puede generar con dos soluciones y_1(x) y y_2(x) de (A), que sean linelamnte indpendientes, es decir, con dos soluciones de (A) tal que el wronskiano de ellas sea una función que al menos no se anule en un punto.

Es decir, la solución general y_h(x) de la ecuación homogénea (A) tiene la forma

y_h(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x),

donde las funciones y_1(x) y y_2(x) son dos soluciones de (A) definidas en un intervalo (\alpha,\beta) tal que el wronskiano W[y_1,y_2](x) de ellas sea una función que no se anule en al menos un punto x_0 del intervalo (\alpha,\beta).

En resumen, para obtener la solución genereal de (A) es necesario

I) Encontrar dos soluciones y_1(x) y y_2(x) de (A).

II) Calcular el wronskiano W[y_1,y_2](x) asociado a ellas: Si el wronskiano no se anula en al menos algún punto, entonces ambas soluciones son linealmente independientes y al tener dimensión 2 el espacio V, forman una base de V.

III)  Al formar el conjunto de soluciones y_1(x) y y_2(x) una base de V, cualquier solución y_h(x) de (A)  es combinación lineal de ellas. Por lo tanto, existen constantes c_1 y c_2, únicas, tales que

y_h(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x).

 
ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN DE COEFICIENTES CONSTANTES
 

Consideremos la ecuación de coeficientes constantes

ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0                   (B)

HECHO 9: La función e^{rx} es solución de (B) si y sólo si r es raíz del polinomio p(r)=ar^2+br+c.

El polinomio de segundo grado p(r) es conocido como el  polinomio característico asociado a la ecuación diferencial (B) y a las raíces del polinomio característico se les conoce como raíces características de p(r)..

Como el polinomio característico es un polinomio de segundo grado, entonces tenemos las siguientes posibilidades para las raíces características

(i) El polinomio p(r) tiene dos raíces reales r_1, r_2, distintas en caso de que el discriminante D=b^2-4ac del polinomio característico sea positivo.

(ii) El polinomio p(r) tiene una raíz de multiplicidad 2, o raíz doble, r_1=r_2 cuando el discriminante se anula, es decir, D=b^2-4ac=0.

(iii) El polinomio p(r) tiene dos raíces complejas, una siendo conjugada compleja de la otra. Esto en el caso que D=b^2-4ac sea negativo.

En el caso (i) de existencia de dos reíces reales distintas r_1 y r_2 del polinomio característico tenemos que las funciones

y_1(x)=e^{r_1x}

y

y_2(x)=e^{r_2x}

son soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea (B) y, por lo tanto la solución general y_h(x) de (B) tiene la forma

y_h(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}.

Ejemplo. Consideremos la ecuación y''(x)+5y'(x)+6y(x).

Para determinar su solución general observemos que el polinomio característico de la ecuación diferencial está dado por p(r)=r^2+5r+6=(r+3)(r+2).

Las raíces del polinomio característico están dadas por r_1=-3 y r_2=-2, por lo que las funciones y_1(x)=e^{-3x} y y_2(x)=e^{-2x} son soluciones de la ecuación diferencial.

Con un cálculo directo, usted estimado lector puede mostrar que su Wronskiano

W[y_1,y_2](x)=Det\left( \begin{array}{cc} y_1(x) & y_2(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) \\ \end{array} \right)=y_1(x)y_2'(x)-y_1'(x)y_2(x).

  no se anula y, en consecuencia, resultan ser soluciones linealmente indpendientes de la ecuación diferencial. Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea está dada por

y_h(x)=c_1e^{-3x}+c_2e^{-2x}.

Si además, se debe hallar la solución de la ecuación diferencial  que satisfaga las condiciones iniciales y_h(0)=1y'_h(0)=0, entonces, al ser

y'_h(x)=-3c_1e^{-3x}-2c_2e^{-2x}

se tiene que

1=y_h(0)=c_1+c_2  y  0=y'_h(0)=-3c_1-2c_2,

es decir, debemos resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

1=c_1+c_2,    0=-3c_1-2c_2.

Usando Gauss-Jordan

\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & \vdots & 1 \\ -3 & -2 & \vdots & 0 \\ \end{array} \right)\sim\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & \vdots & 1 \\ 0 & 1 & \vdots & 3 \\ \end{array} \right)\sim\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \vdots & -2 \\ 0 & 1 & \vdots & 3 \\ \end{array} \right).

Por lo tanto, c_1=-2 y c_2=3. Finalmente, la solución de la ecuación diferencial homogénea que satisface las condiciones iniciales corresponde a la función

y_h(x)=-2e^{-3x}+3e^{-2x}

Aplicaciones de edo’s de 2do orden a oscilaciones

Aplicaciones_Ecs_2do_orden_lineales_Shepley_L._Ross

MBraun