Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y factor integrante

I.

Consideremos la ecuación diferencial lineal de primer orden

\frac{dy}{dx}=\cos x

Resolver esta ecuación diferencial consiste en detrminar todas las funciones  y(x) posibles tales que su derivada es igual a la función \cos x. De esta forma para resolver esta ecuación diferencial solo requerimos calcular la integral de la ecuación anterior, es decir

\int \frac{dy}{dx}dx=\int \cos x dx,

pero la integral de la izquierda es igual, por el teorema fundamental del cálcul, a y(x), mientras que la integral de la parte derecha de la misma igualdad está dada por la familia de funciones \sin x +C, donde C es la constante de integración. Por lo tanto, hemos obtenido como soluciones de la ecuación diferencial a la familia de funciones

y(x)=\sin x +C, \hskip0.5cm\mbox{donde}\hskip0.5cm C\in \mathbb{R}.

Cuando hemos determinado la familia de soluciones de una ecuación diferencial se dice que hemos integrado la ecuación diferencial. Esto se debe a que, como en el ejemplo anterior, se ha hecho uso de la integración para resolver la ecuación diferencial.

II.

Procedamos a integrar o resolver la ecuación diferencial

x\frac{dy}{dx}+y=\cos x.

Observemos que en el ejemplo anterior, integrar la ecuación diferencial \frac{dy}{dx}=\cos x, nos dimos cuenta que era posible hallar una función tal que su derivada sea igual a \frac{dy}{dx} y que tal función está dada por y(x). En el ejemplo que nos interesa, observemos que  la función \psi (x)=xy(x) tiene por derivada a x\frac{dy}{dx}+y. Es decir,

\frac{d xy}{dx}=x\frac{dy}{dx}+y,

de esta forma

\frac{d xy}{dx}=\cos x.

Al integrar esta última igualdad y usar el teorema fundamental del cálculo en la primera y tercera de la siguiente secuencia de igualdades, tenemos que

xy=\int \frac{d xy}{dx}dx=\int \cos x dx=\sin x +C.

Por lo tanto, la familia de soluciones de la ecuación diferencial está dada por la familia a un parámetro de funciones

y(x)=\frac{1}{x}\left(\sin x +C\right).

III.

Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de primer orden dada por

\frac{dy}{dx}+y=1+x.

Es claro que esta ecuación diferencial está escrita en la forma estándar \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x). Y observemos que la expresión a la izquierda de esta ecuación no es la derivada de función alguna, pero si la multiplicamos por  la función \mu(x)=e^x y obtenemos,

e^x \frac{dy}{dx}+e^xy=e^x(1+x)

Para esta nueva ecuación diferencial, vemos que la expresión e^x \frac{dy}{dx}+e^xy=\frac{de^xy}{dx}, de sta forma

\frac{de^xy}{dx}=e^x \frac{dy}{dx}+e^xy=e^x(x+1),

es decir,

\frac{de^xy}{dx}=e^x(x+1).

Ahora podemos retomar lo hecho en los dos incisos anteriores e integrar esta igualdad, por lo que

e^x y=\int \frac{d e^x y}{dx}dx=\int e^x(x+1)dx.

Pero, como podemos calcular esta última integral con el método de integración por partes (\int vdu=uv-\int vdu) tomando u=x+1, dv=e^xdx, por lo que du=dx y v=e^x. De esta forma

\int e^x(x+1)dx=e^x(x+1)-\int e^xdx=e^x(x+1)-e^x+C=xe^x+C.

Por lo tanto,

e^xy=xe^x+C,

y, en consecuencia, la familia de funciones que son soluciones de la ecuación dierencial está dada por

y(x)=e^{-x}\left(xe^x+C\right)=x+Ce^{-x}.

Es importante notar que la idea fundamental consistió en multiplicar la ecuación diferencial original por la función \mu(x)=e^{x} para tener la igualdad \frac{de^xy}{dx}=e^x(x+1). A partir de esta última, hallar la familia de soluciones solo implicó el cálculo de una integral, salpimentado con un poco de álgebra básica.

Las preguntas que quedan seguramente en la mente del lector son del tipo: ¿cómo se encontró la función \mu(x)=e^x?, ¿se adivinó? o ¿hay algún método que me permita hallar dicha función \mu(x)=e^x?

IV El Método del factor integrante

En este inciso veremos que, en el caso de la ecuación diferencial lineal

\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),\hskip1cm (+)

es posible determinar una función \mu(x) tal que al multiplicar esta ecuación difierencial por \mu(x) y obtener

\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y=\mu(x)q(x)\hskip1cm (A)

esta resulta ser una ecuación integrable, es decir, que se puede resolver. Por ello, a la función \mu(x), que es factor de esta ecuación diferencial, se le conoce como factor integrante de la ecuación diferencial. En resumen el factor integrante es una fucnión que al multiplicar la ecuación diferencial por ella, obtenemos una ecuación integrable.

Notemos que en el ejemplo del inciso (III), la función \mu(x)=e^x resultó ser un factor integrante de la ecuación diferencial \frac{dy}{dx}+y=x+1, de modo que al multiplicar la ecuación diferencial por \mu(x)=e^x obtuvimos la igualdad \frac{de^xy}{dx}=e^x(x+1), a partir de la cual pudimos calcular la familia de soluciones y(x)=x+Ce^{-x}.

Reproduzcamos esta idea en el caso general, multipliquemos la ecuación lineal general por \mu(x), por lo que obtenemos \mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y=\mu(x)q(x).  Si seguimos lo que hemos rescatado del ejemplo anterior, sería sorprendente que la expresión \mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y,  a la izquierda de la ecuación sea la derivada del producto de las funciones y y el factor integrante buscado \mu(x), es decir,

\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y=\frac{d\mu(x)y}{dx}.\hskip1cm (*)

En general, no siempre es cierta la igualdad anterior. ¿en qué casos sí lo es? Para responder a esta interrogante, supongamos cierta la igualdad y busquemos las funciones \mu(x) que la hacen válida.

Al desarrollar la expresión a la derecha de la ecuación anterior, la regla de Leibniz de la derivada de un producto de funciones da como resultado

\frac{d\mu(x)y}{dx}=\mu(x)\frac{dy}{dx}+y\frac{d\mu}{dx}\hskip1cm (**).

En consecuencia, de (*) y (**) tenemos que, para que la ecuación diferencial  (B) sea integrable se requiere que se satisfaga  la igualdad

\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y=\mu(x)\frac{dy}{dx}+y\frac{d\mu(x)}{dx}.

Pero esta igualdad se satisface si y sólo si

\mu(x)p(x)y=y\frac{d\mu(x)}{dx}

o equivalentemente,

\frac{d\mu}{dx}=\mu(x)p(x).

En resumen, para que la ecuación diferencial (+) pueda transformarse es una ecuación diferencial integrable, debemos multiplicarla por la función \mu(x) la cual a su vez es solución de la ecuación diferencia anterior. Dicha ecuación es una ecuación diferencial de variables separadas cuya  solución, el lector podrá mostrar esto sin problemas,  está dada por

\mu(x)=e^{\int p(x)dx} \hskip1cm (C).

Finalmente, el factor integrante \mu(x) para la ecuación diferencial (+) está dada por la expresión (C).

Para la ecuación diferencial \frac{dy}{dx}+y=1+x, considerada en la sección III,  se tiene que p(x)=1. De la expresión (C), es claro que un factor integrante para esta ecuación diferencial está dado por la función

\mu(x)=e^{\int p(x)dx}=e^{\int 1 dx}=e^x.

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