Ecuaciones diferenciales exactas, no exactas y factor integrante

Antes de pasar al tema que nos interesa, las ecuaciones diferenciales exactas, recordemos algunos hechos básicos del cálculo diferencial e integral de una variable.

a.- Dada una función f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, se define  su diferencial como df=f'(x)dx.

b.- Una forma diferencial en \mathbb{R} es una expresión del tipo F(x)dx.

c. Una forma diferencial F(x)dx en \mathbb{R} se dice que es exacta si existe una función f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} tal que su diferencial es la forma diferencial dada, es decir, la función f es tal que  df=F(x)dx.

Por ejemplo, la forma diferencial 2xdx es exacta ya que la diferencial de la  función f(x)=x^2 está dada por df=f'(x)dx=2xdx.

Lo anterior se puede generalizar para el caso de funciones y formas diferenciales definidas en el plano.

d.- Definimos la diferencial  df de una función

f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

como

df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy.

La diferencial de la función f(x,y)=x^2y definida en el plano, está dada por

df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=\frac{\partial x^2y}{\partial x}dx+\frac{\partial x^2y}{\partial y}dy=2xydx+x^2dy.

e.- Una forma diferencial definida en el plano es una expresión de la forma

F(x,y)dx+G(x,y)dy

Las expresiones (2x^2\cos x )dx+xydy y xy\sin(2x)dx+2xydy son ejemplos de formas diferenciales definidas en el plano.

f.-Dada una forma diferencial F(x,y)dx+G(x,y)dy, definida en el plano  o en un subconjunto del plano se dice que esta es exacta si existe una función f definida en el plano o en un subconjunto de el tal que

df=F(x,y)dx+G(x,y)dy.

No es difícil convencerse que la forma diferencial en al plano 2xdx+2ydy es exacta, pues la función f(x,y)=x^2+y^2 es tal que

df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=\frac{\partial x^2+y^2}{\partial x}dx+\frac{\partial x^2+y^2}{\partial y}dy=2xdx+2ydy.

El siguiente resultado nos provee de condiciones necesarias y suficientes para que la forma diferencial df=F(x,y)dx+G(x,y)dy sea exacta.

TEOREMA: La forma diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy es exacta si y sólo si \frac{\partial M }{\partial y}=\frac{\partial N }{\partial x}.

Considere la forma diferencial definida en el plano dada por 2xdx+2ydy, ¿es exacta esta forma diferencial? Para contestar a esta pregunta observemos primero que M(x,y)=2x y N(x,y)=2y. Para que sea una forma diferencial exacta, por el teorema anterior,   basta mostrar que \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}. Pero es claro que ambas parciales se anulan, \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial 2x}{\partial y}=0 y \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial 2y}{\partial x}=0. Por tanto se saisface la condición \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}, y por el teorema anterior la forma diferencial 2xdx+2ydy es exacta.

Ejercicios: Determine  si las siguientes formas diferenciales son exactas

a)                  2xydx+x^2dy                         b)     3x(xy-2)dx+(x^3+2y)dy

c)                    (2x^3-xy^2-2y+3)dx-(x^2y+2x)dx

d)                  (\cos z+z\cos x)dx+(\sin x-x\sin z)dz

A continuación veamos un ejemplo donde, no solo justificaremos que una forma diferenial es exacta, sino también veremos la manera como se construye la función f en caso que la forma diferencial sea exacta.

Consideremos la forma diferencial 3x(xy-2)dx+(x^3+2y)dy. ¿esta forma diferencial es exacta? En caso positivo, ¿cómo construir una función f tal que su diferencial df sea igual a la forma diferencial dada?

En este ejemplo tenemos que M(x,y)=3x(xy-2)dx+(x^3+2y)dy y N(x,y)=x^3 + 2y. El lector podrá verificar sin dificultad que  para esta funciones se satisface la igualdad \frac{\partial M }{\partial y}=\frac{\partial N }{\partial x}. Como consecuencia del teorema anterior, tenemos que la forma diferencial dada es exacta, es decir existe una función dependiente de x y y, f(x,y) tal que

df=3x(xy-2)dx+(x^3+2y)dy.

Ahora al problema que debemos enfrentarnos es el de determinar dicha función f.

Sugerimos al lector que siga con mayor cuidado lo que sigue para que pueda comprender el método de construcción de dicha fucnión f.

Supongamos que f es tal que

df=3x(xy-2)dx+(x^3+2y)dy.

Pero,

df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy.

De estas dos últimas igualdades tenemos que

\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=3x(xy-2)dx+(x^3+2y)dy.

Por lo que  los coeficientes de dxdy deben ser iguales; es decir,

\frac{\partial f}{\partial x}=3x(xy-2)         (1)

y

\frac{\partial f}{\partial y}=x^3+2y.       (2)

Estas dos igualdades son la parte importante para la construcción de la función f buscada.

PRIMERA FORMA DE CONSTRUIR LA FUNCIÓN f:

Para realizar tal construcción tomemos, por ejemplo (1), la primera de estas dos últimas igualdades e integremos dicha igualdad con respecto de x, así

f(x,y)=\int \frac{\partial f}{\partial x}dx=\int 3x(xy-2)dx=\int 3x^2y-6x dx=x^3y-3x^2+h(y)

donde h(y) es la constante de integración. Como hemos integrado con respecto de x, la constante de integración debe ser constante con respecto de la variable x, pero puede depender de la variable y. En resumen, prácticamente hemos obtenido la función f, salvo el valor de la fucnión h(y),

f(x,y)=x^3y-3x^2+h(y).             (3)

De esta forma, para conocer completamente lstaa función f falta solamente hallar  la función h(y). Para terminar, calculemos la función h(y). Hasta el momento solo hemos usado la igualdad (1), ahora, de las igualdades  (2) y (3), tenemos que

x^3+2y=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial x^3y-3x^2+h(y)}{\partial y}=x^3+h'(y).

En consecuencia,

h'(y)=2y.

Integrando con respecto de y, se tiene que

h(y)=y^2+C.

En consecuencia

f(x,y)=x^3y-3x^2+h(y)=x^3y-3x^2+y^2+C,

y por lo tanto

f(x,y)=x^3y-3x^2+y^2+C.

El lector no debe olvidar verificar que, efectivamente, la diferencial de esta función es igual a la forma diferencial original 3x(xy-2)dx+(x^3+2y)dy.

SEGUNDA FORMA DE CONSTRUIR LA FUNCIÓN f:

En los párrafos anteriores para obtener la función f,  primero integramos la igualdad (1) con respecto de x, y en una primera expresión para la función f aparece una función h(y), la cual debimos calcular. Para lograr obtener la función h(y) se usó la ecuación (2).

Ahora, primero procedamos a integrar la ecuación (2) con respecto de la variable y, obteniendo una primera aproximación a la función f,

f(x,y)=\int\frac{\partial f}{\partial y}dy=\int x^3+2y dy=x^3y+y^2+k(x).

En resumen, una primera aproximación a la función f está dada por

f(x,y)=x^3y+y^2+k(x).       (4)

Para calcular la función k(x) y determinar completamente la función  f usaremos las ecuaciones (1)  y  (4).

De dichas ecuaciones tenemos que

3x^2y-6x=3x(xy-2)=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial x^3y+y^2+k(x)}{\partial x}=3x^2y+k'(x),

de esta forma,

k'(x)=-6x.

Integrando esta última igualdad con respecto de x se tiene que

k(x)=-3x^2+C.

En consecuencia

f(x,y)=x^3y+y^2+k(x)=x^3y+y^2-3x^2+C,

y por lo tanto, la función buscada está dada por

f(x,y)=x^3y+y^2-3x^2+C.

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Consideremos una ecuación diferencial de primer orden de la forma

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.       (5)

A la forma diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy le llamaremos la forma diferencial asociada a la ecuación diferencial.

Diremos que una ecuación diferencial de primer orden de la forma (5) es exacta si su forma diferencial asociada es una forma diferencial exacta.

De esta forma, si la ecuación diferencial  (5) es exacta, entonces su forma diferencial asociada M(x,y)dx+N(x,y)dy es exacta, y por tanto existe una función f(x,y) tal que df=M(x,y)dx+N(x,y)dy. En la primera parte de esta página hemos visto métodos para calcular dicha función f.

Mostremos que la familia de curvas de nivel

\mathcal{C}_K=\left\{f(x,y)=K, K\in \mathbb{R}\right\}              (S)

asociadas a la función f, (f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R})

son la familia de curvas solución de la ecuación diferencial exacta M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.

Para mostrar la validez de la afirmación anterior, calculemos la diferencial de los elementos que están a ambos lados de la  igualdad f(x,y)=K dada en (S), por lo que

df=dK.            (A)

Pero, por una parte, sabemos que la funciónf es tal que

df=M(x,y)dx+N(x,y)      (B)

y, por otra como $K$ es constante, se tiene que

dK=0.            (C)

Por lo tanto, de (A), (B) y (C), se tiene que

M(x,y)dx+N(x,y)=0.

En resumen, la familia de curvas de nivel asociadas a la fucnión f son las soluciones de la ecuación difeferncial exacta.

Ahora veamos un ejemplo. Consideremos la ecuación diferencial

  2xy\frac{dy}{dx}+y^2-2x=0.

¿Es esta una ecuación diferencial exacta? Primero escribámosla en la forma adecuada M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.

Si escribimos nuestra ecuación diferencial en esta forma, su presentación es la siguiente

2xydy+(y^2-2x)dx=0.

En esta ecuación tenemos que M(x,y)=y^2-2x y N(x,y)=2xy. Por lo que

\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial y^2-2x}{\partial y}=2y

y

\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial 2xy}{\partial y}=2y.

De esta forma

\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x},

y, por lo tanto, la ecuación diferencial es exacta.

Para resolver la ecuación diferencial exacta debemos

I.- Calcular f(x,y) tal que df= 2xydy+(y^2-2x)dx, y

II.- Determinar la familia de curvas de nivel \mathcal{C}_K=\left\{f(x,y)=K, K\in \mathbb{R}\right\}   asociadas a la función f. Estas representan a la familia de soluciones de la ecuación diferencial exacta.

Manos a la obra,

I.- Como la ecuación diferencial es exacta,  existe f tal que

df= 2xydy+(y^2-2x)dx,

pero

df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy.

De esta forma

\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=2xydy+(y^2-2x)dx,

como los coeficientes de dx y dy deben ser iguales, entonces

\frac{\partial f}{\partial x}=y^2-2x          (D)          y                     \frac{\partial f}{\partial y}=2xy        (E)

integrando con respecto de x la ecuación (D), tenemos que

f(x,y)=\int\frac{\partial f}{\partial x}dx=\int y^2-2x dx=xy^2-x^2+h(y),

es decir

f(x,y)=xy^2-x^2+h(y).

Usando esta igualdad y la ecuación (E), tenemos que

2xy=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial xy^2-x^2+h(y)}{\partial y}=2xy+h'(y),

y, por tanto

h'(y)=0.

De esta forma h(y) es una función constante, h(y)=C y podemos afirmar que

f(x,y)=xy^2-x^2+h(y)=xy^2-x^2+C,

o sea,

f(x,y)=xy^2-x^2+C.

II.- La familia de curvas solución de la ecuación diferencial exacta está dada por la ecuación f(x,y)=K, que en el caso que nos interesa está dada por

xy^2-x^2+C=K.

o,

xy^2-x^2=H.

Para terminar este ejemplo, verifiquemos que la familia de curvas, definidas implícitamente por la ecuación xy^2-x^2=H nos da la familia de soluciones de la ecuación diferencial.  Para ello, calculemos la diferencial de  los términos a ambos lados de la ecuación, obteniendo

d(xy^2-x^2)=dH.

Es claro que

dH=0

y

d(xy^2-x^2)=\frac{\partial xy^2-x^2}{\partial x}dx+\frac{\partial xy^2-x^2}{\partial y}dy

                                                            =(y^2-2x)dx+2xydy.

De estas últimas dos igualdades tenemos

(y^2-2x)dx+2xydy=0

y, por tanto, se satisface la ecuación diferencial.

ECUACIONES DIFERENCIALES NO EXACTAS Y FACTOR INTEGRANTE

Muchas veces una ecuación diferencial no es exacta, lo que puede parecer una dificultad  insalvable, pero no siempre este es el caso. En diversas ocasiones es posible transformar una ecuación diferencial

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0      (I)

no exacta , en una ecuación diferencial que sí lo sea. ¿Cómo podemos lograr esto?. Al multiplicar la ecuación (I) por una función  \mu adecuada y obtenener

\mu M(x,y)dx+\mu N(x,y)dy=0      (II)

 ésta puede resultar en una ecuación que sí sea exacta. ¿Cualquier función \mu sirve?. Nuestra intuicón nos indica seguramente que no cualquier función \mu será adecuada. ¿ Es posible determinar una metodología que nos proporcione alguna función $\latex \mu$ que sea apropiada? Trabajaemos en la búsqueda de dicha metodología.

Supongamos que la ecuación (I) no es exacta, pero queremos que la ecuación (II) sí lo sea; es decir,  deseamos se satisfaga la igualdad

\frac{\partial \mu M(x,y}{\partial y}=\frac{\partial \mu N(x,y}{\partial x}.       (III)

De entrada, la función \mu dependiese de las dos variable x y y, y pensamos un poco en la igualdad (III), esta se vería como una expresión bastante complicada. Para simplificar un poco dichos cálculos, que al menos mentalmente, nos parecen lejos de ser simples, supongamos que la función \mu depende solo de una de las variables x o y. Sin perder generalidad, supongamos que \mu=\mu(x). De esta forma, la ecuación (III) toma la forma

\frac{\partial \mu(x) M(x,y}{\partial y}=\frac{\partial \mu(x) N(x,y}{\partial x}.       (IV)

pero

\frac{\partial \mu(x) M(x,y}{\partial y}=\mu(x) \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}      (IVa)

y

\frac{\partial \mu(x) N(x,y}{\partial x}=\mu(x)\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}+N(x,y)\frac{\partial \mu(x)}{\partial x}.     (IVb)

De (IV), (IVa) y (IVb), se tiene que

\mu(x) \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\mu(x)\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}+N(x,y)\frac{\partial \mu(x)}{\partial x}

o equivalentemente

\mu(x) \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\mu(x)\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}=N(x,y)\frac{\partial \mu(x)}{\partial x},

es decir

\mu(x) \left\{\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}\right\}=N(x,y)\frac{\partial \mu(x)}{\partial x}.

Por lo tanto, si la función \mu(x) es tal que la ecuación diferencial (IV) es exacta, entonces \mu(x) debe satisfacer la ecuación diferencial

\displaystyle\frac{\frac{d\mu(x)}{dx}}{\mu(x)}=\frac{\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}}{N(x,y)}.

pero

\displaystyle \frac{d \ln \mu(x)}{dx}=\frac{\frac{d\mu(x)}{dx}}{\mu(x)},

por lo que

\displaystyle \frac{d \ln \mu(x)}{dx}=\frac{\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}}{N(x,y)}

y en consecuencia,

\displaystyle \ln \mu (x)=\int \frac{\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}}{N(x,y)}dx.

En resumen,

\displaystyle \mu (x)=\exp \left(\int \frac{\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}}{N(x,y)}dx\right)

EJEMPLO DE TRANSFORMACION DE UNA ECUACION NO EXACTA EN UNA ECUACION EXACTA Y SU SOLUCION

Como siempre que intentemos entender cualquier tema de las matemáticas,  debemos tener a nuestro lado papel y lápiz, con el fin de ir reconstruyendo, o mejor dicho, ir re-creando los pasos que se siguen ya sea en este blog, que es para tu uso, estimado lector, o de cualquier texto que se encuentre a tu disposición. No se está repitiendo,más bien debemos pensar en re-crear lo que está escrito y deseamos comprender.

Consideremos la ecuación diferencial de primer orden escrita en forma diferencial

(3xy+y^2)dx +(x^2+xy)dy=0    (I)

¿Es esta una ecuación diferencial exacta?

Verifique el lector que este no es el caso de la siguiente forma,

i) Identifique los factores M(x,y) de la diferencial dx y N(x,y) de la diferencial dy, y

ii) Muestre que las parciales \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} y \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} son diferentes.

Ahora veamos la manera de construir un factor $\mu(x)$ que nos permita obtener que la ecuación diferencial

\mu(x)(3xy+y^2)dx +\mu(x)(x^2+xy)dy=0      (II)

ya sea una ecuación diferencial exacta.

¿Cómo identificar dicho factor que nos permita volver la ecuación (I) que es no exacta en una ecuación exacta, la ecuación (II).?

DETERMINACION DEL FACTOR DE INTEGRACION

Observe el lector que deseamos que la ecuación (II) sea exacta. Para que esto ocurra la derivada parcial con respacto de y del factor \mu(x)(3xy+y^2) de la diferencial dx debe ser igual a la derivada parcial con respecto de x del factor \mu(x)(x^2+xy) de la diferencial dy, es decir,

\frac{\partial \mu(x)(3xy+y^2)}{\partial y}=\frac{\partial \mu(x)(x^2+xy)}{\partial x},

es decir,

\mu(x)(3x+2y)=\mu'(x)(x^2+xy)+\mu(x)(2x+y),

de esta forma,

\mu'(x)(x^2+xy)=\mu(x)(3x+2y)-\mu(x)(2x+y).

Así,

\mu'(x)(x^2+xy)=\mu(x)(x+y),

o equivalentemente

\mu'(x)(x(x+y))=\mu(x)(x+y),

de esta forma,

x\mu'(x)=\mu(x).    (III)

Es decir, para que la ecuación (II) sea exacta, la función \mu(x) debe satisfacer la ecuación (III), las cual es una ecuación de variables separadas, y que resolvemos como sigue

\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{1}{x}

pero la expresión del lado izquierdo de la igualdad no es más que

\frac{d\ln \mu}{dx},

por lo que

\frac{d\ln \mu}{dx}=\frac{1}{x},

e integrando ambas partes de la igualdad, obtenemos que

\ln \mu(x)=\ln x

y, por lo tanto el factor que nos permite  transformar la ecuación (I), que es no exacta en una ecuación que sí lo sea (ecuación (II)) es la función

\mu(x)=x.

Usted lector, tiene como pequeño ejercicio verificar que es exacta la ecuación (II) con \mu(x)=x,  la cual está dada por

x(3xy+y^2)dx +x(x^2+xy)dy=0,

o equialentemente, verificar que la ecuación diferencial

(3x^2y+xy^2)dx +(x^3+x^2y)dy=0,  (IV)

es una ecuación diferencial exacta.

SOLUCION DE LA ECUACIÓN EXACTA OBTENIDA

Ahora resolvamos la ecuación diferencial exacta (IV). Para ello debemos hallar una función f=f(x,y) tal que su diferencial sea igual a la diferencial en dos variables

(3x^2y+xy^2)dx +(x^3+x^2y)dy

asociada a la ecuación  diferencial (IV), es decir f debe ser tal que

df= (3x^2y+xy^2)dx +(x^3+x^2y)dy.        (V)

Pero

df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy         (VI).

De (V) y (VI) se tiene que

\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2y+xy^2 \hskip0.5cm {\mbox y} \hskip0.5cm \frac{\partial f}{\partial y}=x^3+x^2y         (VIII)

Para obtener una primera expresión para f(x,y), integremos con respecto de x la primera de las igualdades en (VIII) , por lo que se tiene

f(x,y)=\int \frac{\partial d}{\partial x}dx=\int 3x^2y+xy^2 dx+h(y)=x^3y+\frac{1}{2}x^2y^2+h(y).

Es decir,

f(x,y)=x^3y+\frac{1}{2}x^2y^2+h(y)      (IX)

Para determinar completamente la función f, debemos conocer a la función h(y) que aparece como constante de intregración en la igualdad anterior. Pero podemos obtener dicha función si hacemos uso de la segunda igualdad en (VIII) y de (IX),

x^3+x^2y=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial x^3y+\frac{1}{2}x^2y^2+h(y)}{\partial y}=x^3+x^2y+h'(y).

De esta última igualdad obtenemos que

h'(y)=0.

En consecuencia,

h(y)=constante=k

y, sustituyendo h(y)=k en (IX), obtenemos

f(x,y)=x^3y+\frac{1}{2}x^2y^2+k

y la solución de la ecuación diferencial exacta (IV) está dada por la familia de curvas planas definida por la ecuación implícita

f(x,y)=x^3y+\frac{1}{2}x^2y^2=C.

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y factor integrante

I.

Consideremos la ecuación diferencial lineal de primer orden

\frac{dy}{dx}=\cos x

Resolver esta ecuación diferencial consiste en detrminar todas las funciones  y(x) posibles tales que su derivada es igual a la función \cos x. De esta forma para resolver esta ecuación diferencial solo requerimos calcular la integral de la ecuación anterior, es decir

\int \frac{dy}{dx}dx=\int \cos x dx,

pero la integral de la izquierda es igual, por el teorema fundamental del cálcul, a y(x), mientras que la integral de la parte derecha de la misma igualdad está dada por la familia de funciones \sin x +C, donde C es la constante de integración. Por lo tanto, hemos obtenido como soluciones de la ecuación diferencial a la familia de funciones

y(x)=\sin x +C, \hskip0.5cm\mbox{donde}\hskip0.5cm C\in \mathbb{R}.

Cuando hemos determinado la familia de soluciones de una ecuación diferencial se dice que hemos integrado la ecuación diferencial. Esto se debe a que, como en el ejemplo anterior, se ha hecho uso de la integración para resolver la ecuación diferencial.

II.

Procedamos a integrar o resolver la ecuación diferencial

x\frac{dy}{dx}+y=\cos x.

Observemos que en el ejemplo anterior, integrar la ecuación diferencial \frac{dy}{dx}=\cos x, nos dimos cuenta que era posible hallar una función tal que su derivada sea igual a \frac{dy}{dx} y que tal función está dada por y(x). En el ejemplo que nos interesa, observemos que  la función \psi (x)=xy(x) tiene por derivada a x\frac{dy}{dx}+y. Es decir,

\frac{d xy}{dx}=x\frac{dy}{dx}+y,

de esta forma

\frac{d xy}{dx}=\cos x.

Al integrar esta última igualdad y usar el teorema fundamental del cálculo en la primera y tercera de la siguiente secuencia de igualdades, tenemos que

xy=\int \frac{d xy}{dx}dx=\int \cos x dx=\sin x +C.

Por lo tanto, la familia de soluciones de la ecuación diferencial está dada por la familia a un parámetro de funciones

y(x)=\frac{1}{x}\left(\sin x +C\right).

III.

Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de primer orden dada por

\frac{dy}{dx}+y=1+x.

Es claro que esta ecuación diferencial está escrita en la forma estándar \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x). Y observemos que la expresión a la izquierda de esta ecuación no es la derivada de función alguna, pero si la multiplicamos por  la función \mu(x)=e^x y obtenemos,

e^x \frac{dy}{dx}+e^xy=e^x(1+x)

Para esta nueva ecuación diferencial, vemos que la expresión e^x \frac{dy}{dx}+e^xy=\frac{de^xy}{dx}, de sta forma

\frac{de^xy}{dx}=e^x \frac{dy}{dx}+e^xy=e^x(x+1),

es decir,

\frac{de^xy}{dx}=e^x(x+1).

Ahora podemos retomar lo hecho en los dos incisos anteriores e integrar esta igualdad, por lo que

e^x y=\int \frac{d e^x y}{dx}dx=\int e^x(x+1)dx.

Pero, como podemos calcular esta última integral con el método de integración por partes (\int vdu=uv-\int vdu) tomando u=x+1, dv=e^xdx, por lo que du=dx y v=e^x. De esta forma

\int e^x(x+1)dx=e^x(x+1)-\int e^xdx=e^x(x+1)-e^x+C=xe^x+C.

Por lo tanto,

e^xy=xe^x+C,

y, en consecuencia, la familia de funciones que son soluciones de la ecuación dierencial está dada por

y(x)=e^{-x}\left(xe^x+C\right)=x+Ce^{-x}.

Es importante notar que la idea fundamental consistió en multiplicar la ecuación diferencial original por la función \mu(x)=e^{x} para tener la igualdad \frac{de^xy}{dx}=e^x(x+1). A partir de esta última, hallar la familia de soluciones solo implicó el cálculo de una integral, salpimentado con un poco de álgebra básica.

Las preguntas que quedan seguramente en la mente del lector son del tipo: ¿cómo se encontró la función \mu(x)=e^x?, ¿se adivinó? o ¿hay algún método que me permita hallar dicha función \mu(x)=e^x?

IV El Método del factor integrante

En este inciso veremos que, en el caso de la ecuación diferencial lineal

\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),\hskip1cm (+)

es posible determinar una función \mu(x) tal que al multiplicar esta ecuación difierencial por \mu(x) y obtener

\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y=\mu(x)q(x)\hskip1cm (A)

esta resulta ser una ecuación integrable, es decir, que se puede resolver. Por ello, a la función \mu(x), que es factor de esta ecuación diferencial, se le conoce como factor integrante de la ecuación diferencial. En resumen el factor integrante es una fucnión que al multiplicar la ecuación diferencial por ella, obtenemos una ecuación integrable.

Notemos que en el ejemplo del inciso (III), la función \mu(x)=e^x resultó ser un factor integrante de la ecuación diferencial \frac{dy}{dx}+y=x+1, de modo que al multiplicar la ecuación diferencial por \mu(x)=e^x obtuvimos la igualdad \frac{de^xy}{dx}=e^x(x+1), a partir de la cual pudimos calcular la familia de soluciones y(x)=x+Ce^{-x}.

Reproduzcamos esta idea en el caso general, multipliquemos la ecuación lineal general por \mu(x), por lo que obtenemos \mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y=\mu(x)q(x).  Si seguimos lo que hemos rescatado del ejemplo anterior, sería sorprendente que la expresión \mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y,  a la izquierda de la ecuación sea la derivada del producto de las funciones y y el factor integrante buscado \mu(x), es decir,

\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y=\frac{d\mu(x)y}{dx}.\hskip1cm (*)

En general, no siempre es cierta la igualdad anterior. ¿en qué casos sí lo es? Para responder a esta interrogante, supongamos cierta la igualdad y busquemos las funciones \mu(x) que la hacen válida.

Al desarrollar la expresión a la derecha de la ecuación anterior, la regla de Leibniz de la derivada de un producto de funciones da como resultado

\frac{d\mu(x)y}{dx}=\mu(x)\frac{dy}{dx}+y\frac{d\mu}{dx}\hskip1cm (**).

En consecuencia, de (*) y (**) tenemos que, para que la ecuación diferencial  (B) sea integrable se requiere que se satisfaga  la igualdad

\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y=\mu(x)\frac{dy}{dx}+y\frac{d\mu(x)}{dx}.

Pero esta igualdad se satisface si y sólo si

\mu(x)p(x)y=y\frac{d\mu(x)}{dx}

o equivalentemente,

\frac{d\mu}{dx}=\mu(x)p(x).

En resumen, para que la ecuación diferencial (+) pueda transformarse es una ecuación diferencial integrable, debemos multiplicarla por la función \mu(x) la cual a su vez es solución de la ecuación diferencia anterior. Dicha ecuación es una ecuación diferencial de variables separadas cuya  solución, el lector podrá mostrar esto sin problemas,  está dada por

\mu(x)=e^{\int p(x)dx} \hskip1cm (C).

Finalmente, el factor integrante \mu(x) para la ecuación diferencial (+) está dada por la expresión (C).

Para la ecuación diferencial \frac{dy}{dx}+y=1+x, considerada en la sección III,  se tiene que p(x)=1. De la expresión (C), es claro que un factor integrante para esta ecuación diferencial está dado por la función

\mu(x)=e^{\int p(x)dx}=e^{\int 1 dx}=e^x.

Análisis Funcional 14-I

Contenido Sintético

1. Espacios de Banach y de Hilbert
Conceptos básicos y ejemplos de espacios normados, de Banach y de Hilbert.
Funcionales lineales y espacios duales. Espacios de Hilbert: subespacios
cerrados, proyecciones. Teorema de Riesz, bases ortonormales. Convergencia
débil. Teorema de Hahn-Banach y aplicaciones.

2. Operadores
Propiedades básicas de operadores en espacios normados. Principio de
contracción de Banach-Cacciopoli y aplicaciones. Operadores adjuntos. Núcleos
y rangos de operadores en espacios de Hilbert. Principio de acotamiento
uniforme. Aplicaciones. Teoremas del mapeo abierto y de la gráfica cerrada.

3. Se verá uno de los siguientes temas optativos
a. Temas Teóricos
Espacios de Sobolev y soluciones débiles de EDP.
Teoría de Sturm-Liouville.
Ecuaciones integrales de Fredholm.
Optimización en espacios de Hilbert.

Como aplicación del maerial del curso veremos aspectos elementales de
Ondeletas y sus aplicacionesa procesamiento de señales así como aplicaciones a
la teoría de problemas inversos.

Evaluación: Dos exámenes parciales 60% de la calificación. Tareas 10% de la
calificación. Desarrollo y exposición de uno de los temas optativos, entrega de reporte
del mismo 30%.

Bibliografía
1. Balakrishnan, A.V., Applied Functional Analysis. Springer-Verlag, 1981.

2. Brézis, H., Análisis Funcional, Teoría y Aplicaciones. Alianza Editorial, 1983.

3. Conway, J. B., A Course in Functional Analysis. Graduate Texts inMathematics. Springer Verlag; 2nd. Ed., 1997.

4. Deimling , K., Applied Functional Analysis. Springer, 1993.

5. Griffel, D.H. Applied Functional Analysis. Dover Pubs., 2002.

6. Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley &
Sons; 1st ed. 1989.

7. Lebedev, V.I., An introduction to functional analysis and computational
mathematics. Birkhauser, 1997.

8. Lebedev, L. P. , Gladwell, G. M. L., Vorovich, I. I. Functional Analysis:
Applications in Mechanics and Inverse Problems (Solid Mechanics and Its
Applications, 100). Kluwer Academic Pub. 2nd. ed., 2002.

9. Moore, R. E., Computational Functional Analysis. J.Wiley & Sons, 1985.

10. Shilov, G. E., Elementary Functional Analysis. Dover Pubns, 1996.

11. Zeidler, E., Applied Functional Analysis: Main Principles and Their
Applications. Applied Mathematical Monographs Vol. 109, 1995.

Erwi

1er Tarea:

Ejercicios 2, 4, 6, 7, 8, 14 de las pags 8,9 del texto

Ejercicios 1, 3, 6, 7, 11, 12, 13, 14 de las pags 16, 17 del texto

2a Tarea:

Ejercicios 2, 3, 5, 6, 8,10, 12 y 13 de las pags 23,24, 25 del texto

Ejercicios 1, 2, 4, 5, 8, 9  de las pags 31, 32  del texto

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS I, CBI UAMI

CONTENIDO SINTETICO

1.- Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden. (a) Motivación: modelado y clasificación de ecuaciones diferenciales (ordinarias y parciales, lineales y no lineales). (b) Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, separables, exactas, factores integrantes y homogéneas. (c) Isoclinas y teorema de existencia y unicidad. (d) Algunas ecuaciones especiales: ecuaciones de Clairaut y Ricatti. (e) Aplicaciones: dinámica de poblaciones, decaimiento radioactivo, mecánica (el péndulo simple), mezclas.

2.- Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden. (a) Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes. Polinomio característico. Raíces simples y dobles, reales y complejas. (b) Ecuaciones con coeficientes variables. Independencia lineal. (c) Wronskiano. Reducción de orden. Caso no homogéneo. Método de los coeficientes indeterminados. (d) Variación de parámetros. (e) Aplicación: vibraciones (oscilaciones lineales, amortiguadas, forzadas y resonancia). (f) Extensión al caso de orden n

3.- Métodos numéricos. (a) Método de Euler. Error local y global. Convergencia. (b) Métodos de Taylor. (c) Métodos de Runge-Kutta.

4. Transformada de Laplace. (a) Funciones exponencialmente acotadas y definición de la transformada de Laplace. (b) Propiedades. La fórmula de convolución. (c) Transformada inversa, descomposición en fracciones parciales y el uso de tablas. (d) Funciones de transferencia. (e) Aplicación a la solución de ecuaciones lineales con término inhomogéneo discontinuo

 

BIBLIOGRAFÍA

1. Medina Valdez, Mario, Introducción a Problema de Modelado Matemático y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, un enfoque visual y computacional con Matlab.

2.. Abell, M. L. y J.P. Braselton. Differential Equations with Maple V, segunda edición. Academic Press. San Diego, 1999.

3. Blanchard, P. ,R. L. Devaney y G. R. Hall. Ecuaciones diferenciales. Ed. Thomson. México, 1999.

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8. Edwards, C. H. y D. E. Penney. Ecuaciones diferenciales. 2ª ed. Pearson Educación. México, 2001.

9. Gray, A., M. Mezzino y M. A. Pinsky. Introduction to Ordinary Differential Equations with Mathematica: An Integrated Multimedia Approach. Springer-Verlag. New York, 1997.

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11. Zill, D. G. y M.R. Cullen. Ecuaciones diferenciales con problemas de valor en la frontera. Edit. Thomson. México, 2001.

12. F. Simmons y S. G. Krantz, “Ecuaciones diferenciales: teoría, técnica y práctica”, México, McGraw-Hill, 2007.

13. D. G. Zill, “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones al modelado”, 8ª. Ed. Thomson, 2007.

14. M. L. Abell and J. P. Braselton, “Differential Equations with MAPLE V”, second edition, Academic Press, San Diego, 1999.

15. W.E. Boyce &R.C. DiPrima, “Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera”, 4ª. Ed.,LIMUSA, 2005.

16. M. Golubitsky, “Álgebra lineal y ecuaciones diferenciales con uso de Matlab”, Cengage Learning, 2001.

A la derecha de este temario se encuentra una pestaña de CATEGORÍAS donde es posible consultar material docente sobre los puntos a tratar en este curso. Los invito cordialmente a visitarlas

EVALUACIÓN: Se realizarán dos evaluaciones parciales en la semanas 4 y 8, asimismo se realizará un examen global obligatorio en la semana 12 en la fecha que establezca la Coordinación de Sistemas Escolares. De estos exámenes se tendrá el 85% de la calificación final. Asimismo habrá talleres, evaluaciones semanales y exámenes rápidos. De las cuales saldrá el otro 15% de la calificación final. La escala será NA=[0, 6.0), S=[6.0,7.5), B=[7.5,9.0),MB=[9.0.10.0]

AQUI TIENEN UNA  REFERENCIA  Zill