La ecuacion de difusion y la series de Fourier

Sobre el comportamiento periódico

En la naturaleza, por no decir en nuestra vida diaria, son innumerables sucesos o fenómenos que se repiten de manera sucesiva. Levantarnos a la misma hora…correr a la escuela…ir a comer…realizar deberes escolare…cenar…ir  dormir. Estar en un una pequeña embarcación en un lago y sentir las olas del mismo que nos hacen movernos  hacia arriba y abajo sobre las olas que se generan con el viento. Pensemos en el hecho de percibir un sonido. Este  llega a nuestro oído,   pasa por el canal auditivo; las variaciones de presión imprimen al tímpano vibraciones con amplitudes que van desde las micras para sonidos de intensiad media y menor. Dichas vibraciones aseguran su camino a través del oído medio, que consta de tres pequeños huesos, para llegar a la llamada ventana oval que las transmite al oído interno, el cual no es más que una cavidad que contiene líquido, las membranas y terminales nerviosas, que al detectar los cambios de presión   estimula a las células cilíacas, que serán las encargadas de enviar impulsos eléctricos a través del nervio auditivo hasta el cerebro.  Increíble la manera que nos dotó la naturaleza del oído para percibir el sonido. El sonido pasa de un medio aéreo a uno líquido, pero el paso intermedio es una especie de adaptador a este paso y ¡dicho medio adaptador consta de los tres huesos a que hemos hecho mención antes! Hemos hablado de vibraciones y amplitudes, así como podríamos mencionar  a la frecuencia del sonido. La frecuencia,  es el número de vibraciones por segundo. Cuantas más vibraciones por segundo, el sonido es más agudo y cuantas menos vibraciones por segundo, el sonido es más grave. Cuanto más corta, fina y tensa esté una cuerda de un aparato musical, más agudo será el sonido que produzca y viceversa.   Y …¿qué curre con la visión?. Para pensar en este problema, pensemos en una imagen visual, como la siguiente, donde vemos ……

FrecuenciaBN

una sucesión de franjas blancas y negras, donde percibimos un espaciamiento regular y periódico para cada una de las tres imágenes. En una de ellas, el patrón que percibimos  muestra lo que llamaríamos una baja frecuencia, (la aparición de las franjas blancas y negras ocurre menos frecuentemente) mientras que en las otras dos imágenes percibimos visualmente una alta frecuencia, comparada a la primera. Pero ahora lo que tenemos es una frecuencia espacial. En lo anterior no podemos dejar de mencionar los espaciamientos que hay entre las franjas de blanco y negro que hay en las figuras. En el caso de imágenes bidimensionales, como es el caso de una fotografía que tomamos con la cámara que tiene el celular que tenemos en el bolsillo, dichos espaciamientos son la clave para entender cualquier imagen bidimensional. Un ejemplo, sería la siguiente imagen.

FrecuenciaEspacial

  O una imagen más compleja, que es muy usada como imagen de prueba en el estudio del procesamiento digital de imágenes. cameraman

 De funciones periódicas

Se dice que una función

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

es periódica si existe un número real T>0 tal que

f(x+T)=f(x)     (1)

para toda x\in\mathbb{R}. El mínimo de tales T para las cuales se satisface la ecuacon (1) se conoce como período de la función f. periodicaA la gráfica definida sobre un intervalo de longitud T le llamaremos un ciclo. De esta forma, en la gráfica anterior tenemos que el período de la función es T=1, y cada unidad de tiempo (que es el período para nuestra función) aparece un ciclo, en la gráfica aparecen cuatro ciclos. Ahora consideremos la función

f(x)=\sin(2\pi x).

No debemos olvidar que el período de una función senoidal \sin ax es igual a T=\frac{2\pi}{a}. Por lo que nuestra función senoidal tiene un período $T=1$. Mientras que la función

g(x)=\cos (8\pi x)

tiene un período T=\frac{2\pi}{8\pi}=\frac{1}{4}. Esto significa que un ciclo completo ocurre en \frac{1}{4} de unidad de tiempo y, en consecuencia, en una unidad de tiempo ocurren cuatro ciclos completos. A la cantidad de ciclos que ocurren en una unidad de tiempo se le llaman Hertz, abreviado como Hz.  De esta forma, la frecuencia de nuestro movimiento periódico g(x)=\cos(8\pi x) es de 4Hz. La frecuencia f es precisamente el inverso multiplicativo del período T, es decir,

f=\frac{1}{T}.

 En la gráfica inmediata superior podemos ver que el movimiento periódico tiene una freceuncia de 1 Hz. No puedo dejar de mencionar el hecho de que el oído humano no percibe todas las frecuencias. El rango de audición va de los 20 Hz hasta los 20000 Hz. Por encima de esta frecuencia se producen los ultrasonidos, que no podemos percibir. En los instrumentos musicales, al proceso de igualar las frecuencias de las diferentes notas entre los distintos instrumentos y/o con relación a un punto de referencia, que se denomina diapasón, se lo conoce con el nombre de afinación. Las distintas familias de instrumentos pueden tener sistemas de afinación distintos. Esto es lo que ocurre con el proceso de afinación de una guitarra o de un piano. Cada nota musical corresponde a una frecuencia determinada. La escala musical más utilizada en el mundo occidental es la escala temperada. La misma está definida por la relación de que que entre dos notas consecutivas (semitono) hay un factor constante igual a 2^{\frac{1}{12}}=1,05946, y que implica que  cada doce semitonos se duplica la frecuencia, pasando de este modo a la octava siguiente. Esto nos da una idea más fuerte de la relación entre las matemáticas y la música. Más específicamente entre las series de Fourier que veremos más adelante y la música. Pero…este eno es el tema que nos interese fundamentalmente.

Series de Fourier

Un tema muy interesante en el desarrollo de las matemáticas es el referente al desarrollo de una función periódica en una serie infinita de senos y cosenos, Idea desarrollada por Joseph Fourier en sus estudios sobre la ecuación de calor

\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

donde u(x,t) representa la temperatura en el instante t de un punto x de un alambre homogéneo de longitud L, en el instante t;  y que sentaría los elementos de lo que ahora conocemos como la teoría de series de Fourier. Para el desarrollo de una función f, en lo que llamaremos su serie de Fouier,  supondremos que la  función es 2L-periódica (sin perder generalidad, supondremos que f está definida en el intervalo [-L,L].) . Esta función  puede ser representada como una combinación lineal infinita de funciones senos y cosenos de la forma

\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos \big( \frac{n\pi x}{L}\big)+b_n\sin \big( \frac{n\pi x}{L}\big)

f(x)\equiv\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\left(\frac{2n\pi}{L}x\right)+b_n\sin\left(\frac{2n\pi}{L}x\right)

o, equivalentemente como

\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\left(n\omega_0x\right)+b_n\sin\left(n\omega_0x\right),

con n\geq 1.

si tomamos \omega_0=\frac{2\pi}{L}.

Mostremos que es posible reescribir cada uno de los términos de la serie de Fouier

a_n\cos\left(n\omega_0x\right)+b_n\sin\left(n\omega_0x\right)

en una forma en la cual es posible extraer información sobre la función f. Para ello, definamos c_n^2=a_n^2+b_n^2, y consideremos un triángulo rectángulo cuyos catetos son iguales a a_n y b_n; de esta forma  c_n corresponde a la hipotenusa del mismo. El lector pordrá imaginarse sin dificultad dicho triángulo rectángulo.

A partir del triángulo, es posible determinar un ángulo \theta_n tal que \cos \theta_n=\frac{a_n}{c_n}\hskip0.5cm \mbox{y}\hskip0.5cm \sin \theta_n=\frac{b_n}{c_n}, es decir, tal que \tan \theta_n=\frac{b_n}{a_n}.

Así, cada uno de los términos de la serie trigonométrica puede reescribirse como

a_n\cos\left(n\omega_0x\right)+b_n\sin\left(n\omega_0x\right) =c_n\left(\frac{a_n}{c_n}\cos\left(n\omega_0x\right)+\frac{b_n}{c_n}\sin\left(n\omega_0x\right)\right) ,

por lo que

a_n\cos\left(n\omega_0x\right)+b_n\sin\left(n\omega_0x\right) =c_n\left(\cos \theta_n\cos\left(n\omega_0x\right)+\sin \theta_n\sin\left(n\omega_0x\right)\right) ,

En resumen,

a_n\cos\left(n\omega_0x\right)+b_n\sin\left(n\omega_0x\right) =c_n\cos\left(n\omega_0 x-\theta_n\right).

Esta igualdad nos dice que cada sumando  a_n\cos\left(n\omega_0x\right)+b_n\sin\left(n\omega_0x\right) de la serie de Fourier, es realmente una función periódica c_n\cos\left(n\omega_0 x-\theta_n\right),  de amplitud A_n=|c_n|, período T_n=\frac{2\pi}{n\omega_0} y ángulo de fase \theta_n. Esta fucnión periódica es conocida como la n–ésima armónica de la función periódica f.  Además del período, cada una de estas armónicas tiene asociadas  la amplitud, dada por c_n, llamada amplitud de la $n$–ésima arm\’onica. También tiene asociado el ángulo \theta_n, llamado ángulo de fase, su frecuencia f_n=\frac{2n\pi }{T} y su frecuencia natural \omega_n=\frac{n}{T}, la cual está dada por el inverso del período T_n. De esta forma, la serie de Fourier de una función periódica f con período T, la descompone como una suma infinita de armónicas c_n\cos\left(n\omega_0 x-\theta_n\right). Coeficientes de la serie de Fourier de f:[0,T]\rightarrow R, que se extiende como función periódica a todo el conjunto de números reales,

a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)dx,

a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx

y

b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\sin(\frac{n\pi x}{L})dx

con n\geq 1.

Ejemplo Consideremos la función

f(x)=\left\{ \begin{array}{l l} -1, & x\in [-1,0] \hbox{;} \\ 1, & x\in(0,1] \hbox{.} \end{array} \right.

Calculemos la serie trigonométrica de Fourier para esta función. Observemos primero que L=1, y que para calcular el coeficiente a_0,

a_0=\int_{-1}^1f(x)dx.

Pero la función f(x) es una función impar, por lo que la integral sobre anterior sobre el intervalo [-1,1] se debe anular. Es decir a_0=0. El lector puede realizar el cálculo de la integral correspondiente y verificar que a_0 se anula.

En lo que respecta a los coeficientes a_n, n\geq 1, tenemos que

a_n=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)dx

pero el integrando es una función impar pues es el producto de una función impar (f(x)) y una función par (\cos(n\pi x)). Por lo tanto, al integrar esta función impar en un intervalo simétrico con respecto del origen, esta se anula. Es decir, a_n=0, para n\geq 1. Nuevamente, el lector puede realizar el cálculo de la integral para verificar que esta se anula y en conscuencia, obtener la igualdad a_n=0, para n\geq 1. Para determinar el valor de los coeficientes b_n  observamos que el integrando es una función par, al ser el producto de dos funciones impares f(x) y \sin(n\pi x). Por lo que b_n = \int_{-1}^{1}f(x)sin(n\pi x)dx = 2\int_{0}^{1}f(x)sin(n\pi x)dx = 2\int_{0}^{1}\sin(n\pi x) = 2\left[-\frac{1}{n\pi}\cos(n\pi x)\right]_0^1 \\=- 2\frac{1}{n\pi}\left[\cos(n\pi x)\right]_0^1 = - 2\frac{1}{n\pi}\left[\cos(n\pi)-1\right] pero \cos(n\pi)=\left\{ \begin{array}{l l} -1, & n \hbox{impar;} \\ 1, & n \hbox{par.} \end{array} \right. Así, \cos(n\pi)-1=\left\{ \begin{array}{l l} -2, & n \hbox{impar;} \\ 0, & n \hbox{par.} \end{array} \right. Por tanto, b_n =- 2\frac{1}{n\pi}\left[\cos(n\pi)-1\right]=- 2\frac{1}{n\pi}\left\{ \begin{array}{l l} -2, & n \hbox{impar;} \\ 0, & n \hbox{par.} \end{array} \right.=\left\{ \begin{array}{l l} \frac{4}{n\pi}, & n \hbox{impar;} \\ 0, & n \hbox{par.} \end{array} \right. En consecuencia, la serie trigonométrica de Fourier, que denotaremos como SF(f)(x), para la función considerada en este ejemplo, está dada por SF(f)(x) = \sum_{n \;\mbox{impar}}b_n\sin(n\pi x)=\sum_{n \;\mbox{impar}}\frac{4}{n\pi}\sin(n\pi x)\\=\frac{4}{\pi} \sum_{n \;\mbox{impar}}\frac{1}{n}\sin(n\pi x)=\frac{4}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(2m-1)}\sin((2m-1)\pi x). En resumen

SF(f)(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(2m-1)}\sin((2m-1)\pi x).

SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES PARES E IMAPARES El ejmplo anterior, nos muestra un hecho más general La serie de Fourier para una función par, es una serie que consta de una combinación lineal infinita de cosenos. Observemos que al ser f(x) una función par, entonces el integrando f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L}) del coeficiente b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L})dx es una función impar, por lo que esta integral se anula, es decir, b_n=0. Además, el coeficiente a_n, (para n>0) toma la forma

a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx.

mientras que el coeficiente a_0 se obtiene como

a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)dx.

De esta forma, la serie de Fourier de una función par f, definida en un intervalo [-L,L] (L>0) es de la forma

S(f)(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(\frac{n\pi x}{L}),

donde a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)dx y a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L})dx

En el caso de una función impar, su serie de Fourier  es una serie que consta de una combinación lineal infinita de senos. Observemos que al ser f(x) una función impar, entonces el integrando f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L}) del coeficiente a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx es una función impar, por lo que esta integral se anula, es decir, a_n=0. Asimismo, el coeficiente a_0=0, pues f es una función impar, que al integrarse sobre el intervalo [-L,L] se obtiene un valor nulo. Además, el coeficiente b_n, (para n>0) toma la forma

b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L})dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L})dx.

En consecuencia, la serie de Fourier de una función impar, definida en un intervalo [-L,L] (L>0) es de la forma f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(\frac{n\pi x}{L}), donde  b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L})dx

EJERCICIOS DE SERIES DE FOURIER: A continuación hay un link donde hallarás una lista de ejercicios para calcular series de Fourier de funciones. Trabaja todos los ejercicios. Es necesario desarrollar las habilidades de cálculo.

Ejercicios de Series de Fourier SERIES DE FOURIER En muchos de los problemas de ecuaciones diferenciales pàrciales tendremos que considerar series de Fourier de fucniones definidas en un intervalo de la forma [0,L]. Y nosotros solo hemos visto series de Fourier para funciones definidas en intervalos simétricos con respecto del origen; es decir, fucniones definidas en intervalos de la forma [-L,L]. En vista de ello, si tenemos una función definida en un intervalo [0,L], entonces necesitamos construir una función \tilde f:[-L,L]\rightarrow \mathbb{R} a partir de f:[0,L]\rightarrow \mathbb{R}. Dicha función \tilde f la llamaremos extensión de la función f. Existen varias maneras de extender una función definida en un intervlao [0,L] a una segunda función definida en el intervalo [-L,L]. 1. Extensión como función par: Si f:[0,L]\rightarrow \mathbb{R}, entonces definimos \tilde f:[-L,L]\rightarrow \mathbb{R} como \tilde f(x)=\left\{ \begin{array}{l l} f(x), & x\in[0,L] \hbox{;} \\ f(-x), & x\in[-L,0] \hbox{.} \end{array} \right.

ExtPar

\tilde f, extensión par de f

De esta forma hemos extendido la función f, definida en el intervalo [0,L] a una función par (\tilde f) definida en el intervalo [-L,L]. Es claro que \tilde f|_{[0,L]}=f. En consecuencia, si tenemos una serie de Fourier de \tilde f en el intervalo [-L,L], emtonces tendremos definida una serie de Fourier en el intervalo [0,L].

Como \tilde f es una función par, entonces tiene un desarrollo en serie trigonométrica (definida en el intervalo [-L,L]) que consta solamente de cosenos

SF(\tilde f)(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(\frac{n\pi x}{L})

donde los coeficientes están dados por a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\tilde f(x)dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\tilde f(x)dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)dx, y

a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\tilde f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\tilde f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx. En resumen, al extender f a una función par \tilde f, definida en el intervalo [-L,L] hemos obtenido una serie de Fourier de cosenos para la función f definida en el intervalo [0,L], la cual está dada por

SF( f)(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(\frac{n\pi x}{L})

donde los coeficientes están dados por

a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)dx,

y

a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx.

A esta serie se lo conoce como la serie de Fourier de cosenos para la función f definida en el intervalo [0,L]. Si extendemos la función f definida en el intervalo [0,L] como la función impar $\tilde f$ definida en el intervalo [-L,L], entonces obtendremos lo que se comoce como la serie de Fourier de senos para la función f definida en el intervalo [0,L]. 1. Extensión como función impar: Si f:[0,L]\rightarrow \mathbb{R}, entonces definimos \tilde f:[-L,L]\rightarrow \mathbb{R} como \tilde f(x)=\left\{ \begin{array}{l l} f(x), & x\in[0,L] \hbox{;} \\ -f(-x), & x\in[-L,0] \hbox{.} \end{array} \right.

ExtImparExtensión impar

\tilde f definida en el intervalo [-L,L], es la extensión impar de f. De esta forma hemos extendido la función f, definida en el intervalo [0,L] a una función impar (\tilde f) definida en el intervalo [-L,L]. Es claro que \tilde f|_{[0,L]}=f. En consecuencia, si tenemos una serie de Fourier de \tilde f en el intervalo [-L,L], emtonces también tendremos definida una serie de Fourier en el intervalo [0,L]. Como \tilde f es una función impar, entonces tiene un desarrollo en serie trigonométrica (definida en el intervalo [-L,L]) que consta solamente de senos SF(\tilde f)(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(\frac{n\pi x}{L}) donde los coeficientes están dados por b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\tilde f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L})dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\tilde f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L})dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L})dx. En resumen, al extender f a una función impar \tilde f, definida en el intervalo [-L,L] hemos obtenido una serie de Fourier de senos para la función f definida en el intervalo [0,L], la cual está dada por

SF( f)(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(\frac{n\pi x}{L})

donde los coeficientes están dados por

b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L})dx.

A esta serie se lo conoce como la serie de Fourier de senos para la función f definida en el intervalo [0,L]. ============================================================================================================

Por lo pronto, vean el Ejemplo 6 de la página 454 y las secciones 10.2 y 10.3 del libro de Zill. Mañana martes, en el transcurso del día verán ejemplos aquí. Sigan el blog……

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En el siguiente ejemplo veremos como se calculan las series de Fourier de senos y de cosenos para la función f(x)=x con x\in[0,\pi].

Las series mencionadas se obtendrán dependiendo de que consideremos la extensión par o impar de la función f al intervalo [-\pi, \pi].

Serie de senos para f(x)=x, x\in[0,\pi]

Para obtener la serie de senos para f(x)=x, x\in[0,\pi] se requiere considerar la extensión de f a una función impar definida en el intervalo [-\pi,\pi]. De esta forma si \tilde f es tal extensión impar, entonces la correspondiente serie de Fourier será una serie que constará de sumandos dados por funciones senoidales, pues los coeficientes a_0 y a_n, n\geq 1 se anulan. Así

SF(\tilde f)(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(\frac{n\pi x}{L})

donde

b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L})dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(\frac{n\pi x}{\pi})dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)dx..

esta última integral se obtiene al usar integración por partes: \int u dv=uv-\int v du

con u=x,\quad dv=\sin(nx)dx; así, du=dx y v=-\frac{1}{n}\cos(nx).  En consecuencia,

\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)dx=\frac{2}{\pi}\big(\big( -\frac{x}{n}\cos (nx)\big)_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)dx\big)\\=\frac{2}{\pi}\big(-\frac{\pi}{n}\cos (n\pi)-\frac{1}{n^2}\sin(nx)|_{0}^{\pi}\big)=-\frac{2}{n}\cos(n\pi)=-\frac{2}{n}(-1)^n=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}.

En resumen

b_n=(-1)^{n+1}\frac{2}{n},

son los coeficientes de la serie de Fourier de senos de  la función f(x)=x, x\in[0,\pi].

Serie de cosenos para f(x)=x, x\in[0,\pi]

Para obtener la serie de cosenos para f(x)=x, x\in[0,\pi] se requiere considerar la extensión de f a una función par definida en el intervalo [-\pi,\pi]. De esta forma si \tilde f es tal extensión par, entonces la correspondiente serie de Fourier será una serie que constará de sumandos dados por una constante y funciones cosenoidales, pues los coeficientes  de Fourier  b_n, n\geq 1 se anulan para una función par. Así

SF(\tilde f)(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(\frac{n\pi x}{L})=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(\frac{n\pi x}{\pi})=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)

donde

a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}xdx=\frac{2}{\pi}\left[x^2/2\right]_{x=0}^{x=\pi}=\frac{2}{\pi}\frac{\pi^2}{2}=\pi

a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\cos(\frac{n\pi x}{\pi})dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)dx..

esta última integral se obtiene al usar integración por partes: \int u dv=uv-\int v du

con u=x,\quad dv=\cos(nx)dx; así, du=dx y v=\frac{1}{n}\sin(nx).  En consecuencia,

\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\big[\big( \frac{x}{n}\sin (nx)\big)_{0}^{\pi}-\frac{1}{n}\int_0^{\pi}\sin(nx)dx\big]=\frac{2}{\pi}\big[\big( -\frac{1}{n}\int_0^{\pi}\sin(nx)dx\big]=\frac{2}{\pi}\frac{1}{n^2}\big[ \cos(nx)\big]_{x=0}^{x=\pi}=\frac{2}{\pi}\frac{1}{n^2}\big[ \cos(n\pi)-\cos (0)\big]=\frac{2}{\pi}\frac{1}{n^2}\big[ (-1)^n-1\big]

Por tanto,

a_n=\frac{2}{\pi}\frac{1}{n^2}\big[ (-1)^n-1\big].

Observemos que (-1)^n-1 es igual a cero para n par y es igual a -2 para n impar. De esta forma

a_n=0 para n par y a_n es igual a \frac{2}{\pi}\frac{1}{n^2}(-2) para n impar.

Así,

a_{2k}=0, \; k\in \mathbb{N}

y

a_{2k-1}=\frac{-4}{\pi}\frac{1}{(2k-1)^2}, \; k\in\mathbb{N},

junto con a_0=\pi son los coeficientes no nulos de  la serie de Fourier de cosenos de  la función f(x)=x, x\in[0,\pi].

Por tanto,

SF(f)(x)=\frac{\pi}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}\cos\big((2k-1)x\big)\\=\frac{\pi}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{-4}{\pi}\frac{1}{(2k-1)^2}\cos\big((2k-1)x\big)

es la serie de Fourier de cosenos de la fucnión identidad en el intervalo [0,\pi].

OTRO EJEMPLO: Consideremos la función definida por trozos en el intervalo [-\pi,\pi] como sigue

f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{si } x\in[-\pi,-\pi/2), \\ 1, & \mbox{si } x\in[-\pi/2,0),\\ -1, & \mbox{si } x\in[-0,\pi/2),\\ 0, & \mbox{si } x\in[\pi/2,\pi). \end{cases}

OtraAyuda   

Revisar el Capítulo sobre Series de Fourier (Capítulo 10, primeras CINCO secciones) Resolver los ejercicios impares del No. 1 al No. 16 de la página 612 de la referencia OtraAyuda del link que está tres renglones arriba. También resolver los ejercicios 17, 18 y 19 de la misma página 612 mencionada anteriormente. Así como los problemas del No. 1 al No. 7 de la página 624.

A continuación veremos cual es la relación de una función f(x) con su serie de Fourier SF(f)(x).

TEOREMA DE FOURIER: Para una función f, continua y diferenciable por trozos, definida en un intervalo [-L,L], se tiene que para cada x\in (-L,L)
SF(f)(x)=\frac{f^+(x)+f^-(x)}{2}
y para x=-L,L. se tiene que SF(f)(x)= \frac{f^+(-T)+f^-(T)}{2}

Recordemos que f^+(a)=\lim_{x\to a^+}f(x) y f^-(a)=\lim_{x\to a^-}f(x) son los límites laterales de f(x) cuando x tiende a a por la derecha e izquierda, respectivamente.

En consecuencia, para los puntos x del intervalo (-L,L) donde f es continua y diferenciable se tiene que los valores f(x) y SF(f)(x) son iguales. De esta forma, si f es continua y diferenciable, con derivada continua en (-L,L) la serie de Fourier SF(f)(x) converge puntualmente a la función f(x). En los puntos x donde f tiene una discotinuidad de salto, se tiene que SF(f)(x) converge al promedio de los límites laterales en el punto x; es decir,

SF(f)(x)=\frac{f^+(x)+f^-(x)}{2}

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