Sistemas EDO’s de primer orden

Construya dos soluciones de la forma X(t)={\bf v}e^{\lambda t} donde ({\bf v}\in M_{2\times 1}, \lambda in R) para cada sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

X'=AX

cuando

      •   A=\left(\begin{array}{cc}1&3\\ 1&-1\\ \end{array} \right)
      • A=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 4&1\\ \end{array} \right)

Verifique que las soluciones obtenidas son efectivamente soluciones de las correspondientes ecuaciones diferenciales Entregar estos problemas el lunes 7 de octubre Un ejemplo: Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales X'=AX donde A=\left( \begin{array}{cc} 1& 3\\ 5& 3\\ \end{array} \right). Para encontrar soluciones de la forma X(t)={\bf V}e^{\lambda t} se debe satisfacer que los elementos {\bf V} y \lambda deben ser vectores propios y sus valores propios asociados a la matriz A. De esta forma, {\bf V} y \lambda son tales que A{\bf V}=\lambda {\bf V}. Es decir, satisfacen el sistema homogéneo de ecuaciones lineales \big(A-\lambda I\big){\bf V}=\bar {\bf 0}. En este ejemplo, esto toma la forma \left(\left( \begin{array}{cc} 1 & 3\\ 5 & 3\\ \end{array} \right)-\lambda \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\right){\bf V}=\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array} \right) en nuestro problema, tiene solución {\bf V} no trivial. Pero esto ocurre cuando  0=p(\lambda)={\bf det}(A-\lambda I)= {\bf det}\left(\left( \begin{array}{cc} 1 & 3\\ 5 & 3\\ \end{array} \right)-\lambda \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\right)={\bf det} \left( \begin{array}{cc} 1-\lambda & 3\\ 5 & 3-\lambda\\ \end{array} \right)= (1-\lambda)(3-\lambda)-15=(\lambda-1)(\lambda -3)-15=\lambda^2-4\lambda+3-15=\lambda^2-4\lambda-12=(\lambda-6)(\lambda +2) Pero p(\lambda)=(\lambda-6)(\lambda +2)=0 si \lambda_1=6 o \lambda_2=-2. Estos valores de \lambda corresponden a los valores propios. Ahora, para cada valor propio \lambda_1=6 o \lambda_2=-2 debemos calcular los vectores propios correspondientes {\bf v}_1{\bf v}_2. Primero calculemos el vector propio {\bf v}_1 asociado al valor propio \lambda_1=6. Para lograr esto debemos resolver el sistema homogéneo de ecuaciones lineales \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right)= (A-\lambda_1 I){\bf v}=\left(\left( \begin{array}{cc} 1 & 3\\ 5 & 3\\ \end{array} \right)-\lambda_1 \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\right)\left( \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 1-\lambda & 3\\ 5 & 3-\lambda\\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 1-6 & 3\\ 5 & 3-6\\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} -5 & 3\\ 5 & -3\\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} -5v_1 + 3v_2\\ 5v_1 -3v_2\\ \end{array}\right) Es decir,

\begin{array}{c} -5v_1 + 3v_2=0\\ 5v_1 -3v_2=0\\ \end{array}

pero ambas ecuaciones son equivalentes, por lo que solo tenemos una ecuación,

5v_1 -3v_2 =0.

Por lo que v_2=\frac{5}{3}v_1, y si tomamos v_1=3, entonces v_2=5. De esta forma, el vector propio asociado al valor propio \lambda_1=6 está dado por {\bf V}_1=\left( \begin{array}{c} 3\\ 5\\ \end{array} \right). Ahora procedamos a calcular el vector propio {\bf V}_2 asociado al valor propio \lambda_2=-2. Para lograr esto debemos resolver el sistema homogéneo de ecuaciones lineales \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array} \right)= (A-\lambda_2 I){\bf V}=\left(\left( \begin{array}{cc} 1 & 3\\ 5 & 3\\ \end{array} \right)-\lambda_2 \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{array} \right)\right)\left( \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 1-\lambda_2 & 3\\ 5 & 3-\lambda_2\\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 1-(-2) & 3\\ 5 & 3-(-2)\\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 3 & 3\\ 5 & 5\\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} 3v_1 + 3v_2\\ 5v_1 +5v_2\\ \end{array}\right) Es decir, \begin{array}{c} 3v_1 + 3v_2=0\\ 5v_1 +5v_2=0\\ \end{array} pero ambas ecuaciones son equivalentes, por lo que solo tenemos una ecuación, 5v_1 +5v_2 =0, que a su vez es equivalente a la ecuación v_1 +v_2 =0 Por lo que v_2=-v_1, y si tomamos v_1=1, entonces v_2=-1. De esta forma, el vector propio asociado al valor propio \lambda_2=-2 está dado por {\bf V}_2=\left( \begin{array}{c} 1\\ -1\\ \end{array} \right). Finalmente, la solución X_1(t)={\bf V}_1e^{\lambda_1 t} asociada a la pareja \left\{{\bf v}_1,\lambda_1\right\} corresponde a la función

X_1(t)=\left( \begin{array}{c} 3\\ 5\\ \end{array} \right)e^{6 t}=\left( \begin{array}{c} 3e^{6 t}\\ 5e^{6 t}\\ \end{array} \right),

mientras que la solución X_2(t)={\bf V}_2e^{\lambda_2 t} asociada a la pareja \left\{ {\bf V}_2,\lambda_2\right\} corresponde a la segunda función X_2(t)=\left( \begin{array}{c} 1\\ -1\\ \end{array} \right)e^{-2 t}=\left( \begin{array}{c} e^{-2 t}\\ -e^{-2 t}\\ \end{array} \right). ====================================================================

Les queda como ejercicio para entregar el lunes verificar que ambas funciones:

X_1(t)=\left( \begin{array}{c} 3\\ 5\\ \end{array} \right)^{6t} y X_2(t)=e^{-2t}\left( \begin{array}{c} 1\\ -1\\ \end{array} \right)

son soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales. =============================================================

La siguiente liga les dirige a un conjunto de ejercicios para determinar valores y vectores propios de matrices 2X2, 3X3 y 4X4. Además de otros ejercicios adicionales. SistemasEcuacionesDifsLIneales   ========================================================================

EJEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SE MODELAN MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Mezclas salinas en un sistema de dos tanques de mezclado continuo interconectados: Se tiene un sistema interconectado de dos tanque de mezclado continuo, ambos con una capacidad de 5\; m^3 cada uno y  llenos con mezclas salinas de acuerdo a las características que se mencionan a continuación.   El primer tanque contiene 20\; kg de sal, mientras que el segundo contiene agua pura.  Al primer tanque entra agua pura a razón de 100\; {lt}/{min}. La solución salina homogénea en el primer tanque  fluye hacia el exterior a razón de 80\; {lt}/{min}  y hacia el segundo tanque a razón de 30\; {lt}/{min}. Asimismo, la solución salina en el segundo tanque pasa al primero a una tasa de 10\; {lt}/{min} y hacia el exterior a una tasa de 20\;{lt}/{min}.  Se quiere determinar la cantidad de sal en cada tanque en todo momento posterior al instante que que comienza a funcionar el sistema de tanques de mezclado continuo. Ver Figura siguiente

TanqueDobleMezclaContinua

TAREA: Determinar un modelo matemático en términos de ecuaciones diferenciales para describir la cantidad de sal en cada uno de los tanques de mezclado continuo para todo tiempo. ¿Obtienes un sistema autónomo o no autónomo de ecuaciones diferenciales?. Si ahora supones que entra la misma cantidad de  100 {lt}/{min} de líquido al primer tanque, pero en lugar de ser agua pura, se tiene que entra salmuera con una concentración de sal de 0.25; {Kg}/{lt}, encuentra el modelo correspondiente al nuevo problema. ¿Obtienes un sistema autónomo no ecuaciones diferenciales? Justifica tu respuesta. Sugerencia: leer la parte de mezclas que se encuentra en este mismo blog.

Material de ayuda para sistemas de ecuaciones diferenciales

Páginas

También pueden hacer uso del Capítulo 8 del libro de Zill de ecuaciones diferenciales, que ya conocen

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PROBLEMAS PARA ENTREGAR EL LUNES 14 DE OCTUBRE!!!!

Del libro de Zill, pag 387 Para las matrices de los problemas 1, 5,9,13 encuentra los valores propios \lambda, sus vectores propios asociados V y todas las soluciones que puedes hallar de la forma

X(t)=e^{\lambda t}V.

Recuerda que puede haber valores propios simples o valores propios de multiplicidad mayor a 1. Así que pon atención en este caso.

A: Mostrar que si el vector V es un vector propio de la matriz A, entonces cualquier múltiplo escalar aV del vector V es también un vector propio de A.

B: Determine si los vectores V_1=\left( \begin{array}{c} 6\\ -5\\ \end{array} \right) y V_2=\left( \begin{array}{c} 3\\ -2\\ \end{array} \right) son vectores propios o no de la matriz A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 6 \\ 5 & 2\\ \end{array} \right). En caso afirmativo, determine sus correspondientes valores propios.

C: Considere la matriz  A=\left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 6\\ 2 & 1 &6 \\2&-1&8\\ \end{array} \right), (a) determine dos vectores propios asociados al valor propio \lambda=2 resolviendo el sistema de ecuaciones lineales A-\lambda I=\overline {\bf 0}. y (b) Encuentre dos soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales

x'=4x-y+6z, y'=2x+y+6z, z'=2x-y+8z

que tengan la forma X(t)=e^{2 t}V.

D:  Considere el sistema de ecuaciones diferenciales X'=AX, donde A=\left( \begin{array}{cc} \alpha & 0\\ 0 & \beta\\ \end{array} \right), con \alpha\neq\beta. Muestra que los valores propios de la matriz A están dados por \lambda_1=\alpha y \lambda_2=\beta, además muestre que los vectores propios asociados a \lambda_1 y \lambda_2 están dados por V_1=\left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right), y V_2=\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right), respectivamente.

E:  Considere los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales X'=AX. Calcule los valores propios y  vectores propios para cada una de las siguientes matrices: a)  A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & -1\\ \end{array} \right), b)A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 3\\ 0 & -1\\ \end{array} \right), c) A=\left( \begin{array}{cc} 0 & -4\\ 4 & 0\\ \end{array} \right), d) A=\left( \begin{array}{cc} 5 & -4\\ 1 & 1\\ \end{array} \right), e) A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 5\\ -2 & 0\\ \end{array} \right),

F: Considere el sistema de ecuaciones diferenciales en el espacio tridimensional X'=AX, donde A=\left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1& 0&4 \end{array} \right) Encuentra todas las soluciones de la ecuación diferencial determinando sus valores y vectores propios. Obs:  tiene una raíz de multiplicidad 2 y una raíz simple. Recuerda que en el caso de una raíz doble se tienen dos posibilidades: (i) que puedas calcular dos vectores propios a partir del sistema de ecuaciones lineales (A-\lambda I)V=\bar 0 o, (ii) que solo se pueda hallar un vector propio V_1 a partir de las soluciones de (A-\lambda I)V=\bar 0 y necesites también obtener un vector propio generalizado V_2 como solución del sistema no homogéneo de ecuaciones lineales (A-\lambda I)V_2=V_1.

G: Considere el sistema de ecuaciones diferenciales en el espacio tridimensional X'=AX, donde A=\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 0\\ 4 & -1 & 0\\ 2& 1&1\\ \end{array} \right) Encuentra todas las soluciones posibles de la ecuación diferencial determinando sus valores y vectores propios. Obs:  La matriz A tiene una raíz simple real \lambda_1 y dos raíces complejas \lambda_2=\alpha+i\beta\lambda_3=\bar{ \lambda_2}=\alpha-i\beta.  El  caso de la raíz simple \lambda_1 ya lo saben resolver y pueden determinar el vector propio V_1 y  una solución de la forma X_1(t)=e^{\lambda_1 t}V_1 asociada al valor propio \lambda_1, el caso de las raíces complejas también lo conocen, pero les doy un bosquejo del método que deben desarrollar. (i) Una vez que conoce el valor propio complejo \lambda_2=\alpha+i\beta, necesitan hallar su vector propio complejo V_2=\left( \begin{array}{c} P\\ Q\\ R\\ \end{array} \right), cuyas entradas son los números complejos P, Q y R. Este vector propio  V_2 con entradas complejas  es solución del sistema lineal homogéneo de ecuaciones (A-\lambda_2I)V_2=\bar 0. (ii) Calculen la solución compleja X_2(t)=e^{(\alpha+i\beta)t}V_2, las entradas del vector columna X_2(t) se obtinen multiplicando cada entrada P, Q y R (que son números complejos) del vector V_2 por el número complejo e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}e^{i \beta t}=e^{\alpha t}(\cos (\beta t) +i \sin (\beta t)) (iii) Al ser la solución X_2(t) un vector columna de tres entradas, con un número complejo en cada una de ellas, podemos escribirlo como X_2(t)=\left( \begin{array}{c} A_1(t)+iB_1(t)\\ A_2(t)+iB_2(t)\\ A_3(t)+iB_3(t)\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} A_1(t)\\ A_2(t)\\ A_3(t)\\ \end{array} \right) +i \left( \begin{array}{c} B_1(t)\\ B_2(t)\\ B_3(t)\\ \end{array} \right). Las funciones vectoriales X_2^{\mathbb{R}}(t)= \left( \begin{array}{c} A_1(t)\\ A_2(t)\\ A_3(t)\\ \end{array} \right)X_2^{\mathbb{C}}(t)= \left( \begin{array}{c} B_1(t)\\ B_2(t)\\ B_3(t)\\ \end{array} \right), junto con la solución X_1(t)=e^{\lambda_1 t}V_1, asociada a la raíz simple,  nos darán tres soluciones de la ecuación diferencial, que más adelante veremos, forman un conjunto linealmente independiente de funciones solución con las cuales generaremos la solución general X(t)= aX_1(t)+bX_2^{\mathbb{R}}(t)+cX_2^{\mathbb{C}}(t). ==================================================================

MAS EJERCICIOS DE ECUACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2 Y/O 3X3 Soluciones con valores y vectores propios %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

OTRAAYUDASISTEMASLINEALES

SISTEMA NO HOMOGÉNEOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

En esta seción recuperaremos ideas que se han usado para resolover ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, no homogéneas

x'=ax+f(t).

I) Sabemos resolver la ecuación homogénea asociada

x'=ax

y la solución general de esta ecuación homogénea es de la forma

x_h(t)=Ke^{at}.

II) Supongamos que

x_p(t)

es una solución conocida de la ecuación no homogénea

x'=ax+f(t)

y que alguien llega y nos dice ¡aquí tengo otra solución x_g(t) de la ecuación no homogénea!. Podemos contestarle lo siguiente: “…con la solución general x_h(t) de la ecuación homogénea y la solución x_p(t) que ya tengo puedo obtener la solución que tú dices darme…”

Veamos que tan cierta es la afirmación que acabamos de hacer.

A partir de las soluciones x_g(t) y x_p(t) consideremos la diferencia de dichas soluciones, la cual está definida por

\phi(t)=x_g(t)-x_p(t)

entonces

\phi'(t)=x_g'(t)-x_p'(t).

Así,

\phi'(t)-a\phi(t)=x_g'(t)-x_p'(t)- a\left[ x_g(t)-x_p(t)\right]=\left[x_g'(t)- a x_g(t)\right]-\left[x_p'(t)- a x_p(t)\right],

pero, como sabemos x_g(t) y x_p(t) son soluciones de la ecuación no homogénea, por lo que,

x_g'(t)- a x_g(t)=f(t)

y

x_p'(t)- a x_p(t)=f(t).

En consecuencia,

\phi'(t)-a\phi(t)=x_g'(t)-x_p'(t)- a\left[ x_g(t)-x_p(t)\right]=f(t)-f(t)\equiv 0,

y por tanto, la diferencia \phi'(t)=x_g'(t)-x_p'(t) es solución de la ecuación homogénea

x'=ax

por lo que tiene la forma Ke^{at}, es decir,

x_g'(t)-x_p'(t)=Ke^{at},

y en consecuencia,

x_g(t)=x_p(t)+Ke^{at}.

En resumen, podemos obtener la solución x_g(t) como la suma de la solución de la ecuación homogénea x_p(t) que ya teníamos con una de las soluciones Ke^{at} de la ecuación homogénea.

Es decir, no nos dieron alguna nueva solución que no pudiésemos generar con la solución general x_h(t)=Ke^{at} de la ecuación homogénea  y la solución particular x_p(t) de la ecuación no homogénea que ya teníamos.

La información obtenida la podemos resumir en el siguiente resultado, el cual hemos demostrado

RESULTADO: Si x_p(t) es una solucion  conocida o particular de la ecuación no homogénea x'=ax+f(t) y x_h(t) es la solución general de la ecuación homogénea asociada x'=ax, entonces cualquier otra solución x_g(t) de la ecuación no homogénea tiene la forma

x_g(t)=x_h(t)+x_p(t).

 Para el caso de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales no homgéneos

X'=AX+F(T)

se tiene un resultado análogo

RESULTADO: Si X_p(t) es una solucion  conocida o particular de la ecuación no homogénea X'=AX+F(t), con A una matriz de tamaño n\times n y X_h(T) es la solución general de la ecuación homogénea asociada X'=AX, entonces cualquier otra solución X_g(t) de la ecuación no homogénea tiene la forma

X_g(t)=X_h(t)+X_p(t).

De esta forma, para resolver una ecuación lineal no homogénea se requiere

i) La solución general X_h(t) de la ecuación homogénea, y
ii) Una solución particular X_p(t) de la ecuación no homogénea.

Supondremos que el diligente lector de éstas líneas ya conoce la manera de obtener la solución general X_h(t) de la ecuación homogénea, por lo que a continuación nos dedicaremos a calcular soluciones particulares X_p(t) de ecuaciones no homogéneas para presentaciones especiales del término de forzamiento F(t).

Ejemplo: Supongamos que deseamos calcular una solución particular del sistema de ecuaciones no homogéneas

x'=x+2y+2t-4

y'=3x+4y+3t+6

o equivalentemente, de

X'=AX+F(t),

donde

A=\left(  \begin{array}{cc}  1 &2\\  3&4\\  \end{array}  \right)

y

B=\left(  \begin{array}{c}  2+2t \\  3-4t\\  \end{array}  \right)

Observemos que el sistema de ecuaciones no lineales se puede escribir como

X'=AX+B+Ct

donde

B=\left(  \begin{array}{c}  2\\  3\\  \end{array}  \right),C=\left(  \begin{array}{c}  2 \\  -4 \\  \end{array}  \right)

Para determinar una posible solución particular X_p(t), recordemos que en el caso de una ecuación diferencial lineal no homogénea

x'=2x+2t+1

se propone como una solución particular x_p(t) a un polinomio de grado 1; es decir,

x_p(t)=u+vt

de modo que debemos determinar los coeficientes u,v del polinomio para obtener x_p(t), la solución particular buscada. Siguiendo esta misma idea, para el sistema de ecuaciones lineales no homogéneas, proponemos una solución  vectorial polinomial

X_p(t)=U+Vt,

donde U y V son vectores de tamaño 2\times 1. Debemos obtener los valores de los coeficientes vectoriales U y V. Para que esta función polinomial vectorial sea solución debe satisfacer la ecuación no homogénea. Para ello, requerimos calcular su derivada e igualr en la ecuación no homogénea. Así,

X_p'(t)=V

y

V=X_p'=AX_p+B+Ct=A(U+Vt)+B+Ct=AU+B+(AV+C)t,

igualando coeficientes polinomiales, obtenemos las igualdades

V=AU+B y \overline 0=AV+C

SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS Y VARIACION DE PARÁMETROS

. Consideremos un sistema lineal de ecuaciones diferenciales no homogéneo

x'=x-2y+\sin t, \quad y'=x-y+e^t,

el cual puede escribirse matricialmente en la forma

X'=AX+F(t),

 donde

X(t)=\left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \\ \end{array} \right)\quad A=\left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right), \quad F(t)=\left( \begin{array}{c} \sin t \\ e^t \\ \end{array} \right).

Proposición: La solución general de X'=AX+F(t) tiene la forma

X(t)=c_1X_1(t)+\dots +X_n(t)+X_p(t)

donde X_1(t),\dots ,X_n(t) son n soluciones linealmente independientes de X'=AX, la ecuación homogénea asociada y X_p(t) es una solución particular del sistema X'=AX+F(t).

Como ya tenemos una metodología para calcular n soluciones linealmente independientes de X'=AX, entonces solamente nos falta contar con una metodología para obtener una solución particular X_p(t) del sistema no homogéneo X'=AX+F(t).

Antes de continuar, recordemos que: Para matrices cuadradas B\in M_{n\times n}(\mathbb{R}) las siguientes afirmaciones son equivalentes (i) Las columnas de la matriz B son vectores linealmente independientes. (ii) El determinante de B no se anula, y (iii) B es una matriz invertible.

Para desarrollar una metodología para calcular una solución particular X_p(t) de X'=AX+F(t), usaremos una generalización que conocemos nos da resultado en el caso de una ecuación lineal no homogénea. Nos referimos al método de variación de parámetros. Para ello necesitamos algunas definciones.

Un conjunto fundamental de soluciones es un conjunto \left\{X_1,\dots, X_n(t)\right\} de n soluciones linealmente independientes.

Una matriz fundamental es una matriz \Phi(t) tal que sus vectores columna forman un conjunto fundamental de soluciones. Es decir,

\Phi(t)=\Big(X_1,\dots, X_n(t)\Big).

Es de observar det \Phi(t)\neq 0 y además,  si \left\{X_1,\dots, X_n(t)\right\}  es un conjunto fundamental de n soluciones linealmente independientes de X'=AX, entonces la solución general  de X'=AX puede escribirse como

X(t)=c_1X_1(t)+\dots+c_nX_n(t).

Si consideramos el vector C=\left( \begin{array}{c} c_1\\ \vdots \\c_n\\ \end{array} \right), entonces la solución general X(t) puede escribirse matricialmente como X(t)=\Big(X_1,\dots, X_n(t)\Big)\left( \begin{array}{c} c_1\\ \vdots \\c_n\\ \end{array} \right).

o equivalentemente como

X(t)=\Phi(t)C

donde \Phi(t)=\Big(X_1,\dots, X_n(t)\Big) es una matriz fundamental.

VARIACIÓN DE PARÁMETROS: A partir de X(t)=\Phi(t)C, solución general de X'=AX, y de manera semejante a como se hace en el caso de una ecuación lineal de primer orden, no homogénea,

\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)

donde se requiere de la solución general y_h(x)=ce^{-\int q(x)dx} de la ecuación homog\’enea asociada

\frac{dy}{dx}+p(x)y=0,

Solución a partir de la cual se propone una solución particular y_p(x)=u(x)e^{-\int q(x)dx} al variar el parámetro c que aparece en la solución general de la ecuación homogénea.

Retomando esta idea de variar el parámetro c, variemos el vector C que aparece en X(t)=\Phi(t)C la solución general de la ecuación homogénea y propongamos como solución particular de la ecuación X'=AX+F(t) a la función

X_p(t)=\Phi(t)U(t),

donde U(t)=\left( \begin{array}{c} u_1(t) \\ \vdots \\u_n(t)\\ \end{array} \right).

Así, X_p'(t)=\Phi'(t)U(t)+\Phi(t)U'(t), y sustituyendo en la ecuación diferencial no homogénea tenemos la igualdad

\Phi'(t)U(t)+\Phi(t)U'(t)=A \Phi(t)U(t)+F(t)

pero \Phi'(t)=A\Phi(t), de esta forma \Phi'(t)U(t)=A\Phi(t)U(t),   y en consecuencia,

\Phi (t)U'(t)=F(t).

Por tanto,

U'(t)=\Big(\Phi (t)\Big)^{-1}F(t),

y de esta forma

U(t)=\int \Big(\Phi (t)\Big)^{-1}F(t) dt.

Finalmente, la solución general X_g(t) de X'=AX+F(t) está dada por

X_g(t)=c_1X_1(t)+\dots +c_nX_n(t)+X_p(t)=\Phi(t) C+X_p(t)

es decir,

X_g (t)=\Phi (t) C+\Phi (t) U(t),

equivalentemente,

X_g (t)=\Phi (t) C+\Phi (t) \int \Big(\Phi (t)\Big)^{-1}F(t) dt.

Esta última es una expresión formal, para fines prácticos es más conveniente pensar en la expresión

X_g (t)=c_1X_1(t)+\dots+c_nX_n(t)+\Big(X_1(t)\dots\dots X_n(t)\Big) \int \Big(X_1(t)\dots\dots X_n(t)\Big)^{-1}F(t) dt.

donde X_1(t), X_2(t),\dots\dots X_n(t) son vectores columna, (matrices de tamaño n\times 1) que corresponden a las n soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo X'=AX.

Para un ejemplo, considere el sistema de ecuaciones lineales no homogéneo

x'=2x-y+t,\qquad y'=3x-2y+e^t

el cual puede escribirse matricialmente como

X'=AX+F(t)

donde A=\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 3 & -2 \\ \end{array} \right), y F(t)=\left( \begin{array}{c} t\\ e^t\\ \end{array} \right). A continuación mostramos algo más que un bosquejo de la metodología para determinar la solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, no homogéneo, usando variación de parámetros para determinar una solución particular X_p(t) del sistema no homogéneo. Usted lector, al llenar los huecos que se han dejado podrá darse cuenta, ensuciandose las manos, de la manera como se resuelven este tipo de problemas. Lector, muestre que las soluciones linealmente indpendientes del sistema homogéneo asociado X'=AX están dadas por las funciones X_1(t)=e^{-t}\left( \begin{array}{c} 1\\ 3\\ \end{array} \right) y X_2(t)=e^{t}\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ \end{array} \right) donde \lambda_1=-1\lambda_2=1 son los valores propios, V_1=\left( \begin{array}{c} 1\\ 3\\ \end{array} \right) y V_2=\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ \end{array} \right) son los correspondientes vectores propios. El lector podrá mostrar que el Wronskiano de ambas soluciones no se anula, por lo que tenemos dos soluciones linealmente independientes X_1(t) y X_2(t). De esta forma una matriz fundamental está dada por

\Phi(t)=\Big(X_1(t) \; X_2(t)\Big)=\left( \begin{array}{cc} e^{-t}&e^{t} \\ 3e^{-t}&e^{t} \\ \end{array} \right)

Antes de calcular la matriz inversa \Big(\Phi(t)\Big)^{-1} de \Phi(t), recordemos que para una matriz B=\left( \begin{array}{cc} a&b \\ c&d \\ \end{array} \right) su matriz inversa está dada por B^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left( \begin{array}{cc} d&-b \\ -c&a \\ \end{array} \right), por lo que no es difícil mostrar que

\Big(\Phi(t)\Big)^{-1}=-\frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} e^{t}&-e^{t} \\ -3e^{-t}&e^{-t} \\ \end{array} \right) De esta forma U'(t)=\Big(\Phi(t)\Big)^{-1} F(t)=-\frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} e^{t}&-e^{t} \\ -3e^{-t}&e^{-t} \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} t\\ e^t\\ \end{array} \right)=-\frac{1}{2}\left( \begin{array}{c} te^t-e^{2t}\\ -3te^t+1\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \frac{1}{2}\Big( e^{2t}-te^t\Big)\\ \frac{1}{2}\Big(3te^t-1\Big)\\ \end{array} \right). En consecuencia U(t)=\int \Big(\Phi(t)\Big)^{-1} F(t)dt=\int \left( \begin{array}{c} \frac{1}{2}\Big( e^{2t}-te^t\Big)\\ \frac{1}{2}\Big(3te^t-1\Big)\\ \end{array} \right) \, dt=\left( \begin{array}{c} \frac{1}{2}\int \Big( e^{2t}-te^t\Big)dt\\ \frac{1}{2}\int \Big(3te^t-1\Big)dt\\ \end{array} \right), Es decir, U(t)=\left( \begin{array}{c} \frac{1}{4}e^t \Big( e^{t}-2t+2\Big)\\ \frac{1}{2} \Big(3te^t(t-1)-t\Big)\\ \end{array} \right). y X_p(t)=\Phi(t)U(t) Finalmente, la solución general X_g(t) del sistema de ecuaciones lineales no homogéneo está dada por X_g(t)=c_1X_1(t)+c_2X_2(t)+X_p(t)=c_1X_1(t)+c_2X_2(t)+\Phi(t)U(t), Es decir X_g(t)=c_1e^{-t}\left( \begin{array}{c} 1\\ 3\\ \end{array} \right)+c_2e^{t}\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{cc} e^{-t}&e^{t} \\ 3e^{-t}&e^{t} \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \frac{1}{4}e^t \Big( e^{t}-2t+2\Big)\\ \frac{1}{2} \Big(3te^t(t-1)-t\Big)\\ \end{array} \right). OTRO PROBLEMA DE MEZCLAS (DOS REACTORES DE MEZCLADO CONTINUO) Considere dos reactores (A y B) interconectados de mezclado continuo,  cada uno tiene una capacidad de 100 galones. La mezcla líquida que se tiene en el reactor A  fluye de este reactor hacia el segundo reactor (B) a una tasa de 3\, \frac{gal}{min}; asimismo hay un flujo de la mezcla del segundo reactor B al primero a una razón de 1\, \frac{gal}{min}. Las mezclas en ambos reactores están permanentemente agitadas de modo que podemos suponer que las mezclas en ellos son homogéneas. Una solución salina con una concentración de 2\, \frac{lb}{gal} entra al tanque A a una tasa de 6\, \frac{gal}{min}. La solución en el primer tanque A sale del mismo tanque a una tasa de 4\, \frac{gal}{min}, mientras que la solución homogénea del tanque B sale de este a razón de 2\, \frac{gal}{min}. Suponga que el tanque A contiene inicialemente agua pura, mientras que el tanque B contiene 100\, lb de sal. Modela el conjunto de ecuaciones diferenciales que determinan la cantidad de sal existente en cada uno de los reactores A y B al variar el tiempo.   OTRO PROBLEMA DE MEZCLAS …PARA PRACTICAR MODELACIÓN. Se tienen dos tanques de mezclado continuo interconectados, cada uno de ellos con capacidad de almacenar 200 lts de líquido. En el primer tanque entra agua pura a razón de 6\, \frac{lt}{min}, de la solución en el primer tanque se cambia esta al segundo tanque a una razón de 8\, \frac{lt}{min}. Asimismo, del segundo tanque se pasa solución al primero a una tasa de 2\, \frac{lt}{min} y además se desecha solución contenida del segundo tanque a una razón de 6\, \frac{lt}{min}. Como es usual, suponemos que al entrar en contacto dos soluciones en cualesquiera de los reactores, estas se mezclas de manera automática. Si x(t) es la cantidad de sal en el primer tanque y y(t) es la cantidad de sal en el segundo tanque en el instante t. Obtén un modelo de la dinámica del movimiento de la sal en ambos tanques mediante un sistema de ecuaciones diferenciales.

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Números comlejos

Un número complejo se construye a partir de dos números reales a y b y un símbolo i. Este último tiene la propiedad de que su cuadrado es igual a -1; es decir i^2=-1 o equivalentemente, i es tal que i^2+1=0. Observemos que el símbolo i no puede ser un número real, pues sabemos que si u es un número real, entonces u^2\geq 0, y en consecuencia u^2+1\geq 1. Por lo tanto, para cualquier número real u, u^2+1 ¡nunca puede ser igual a cero!. En consecuencia tenemos un nuevo número, i, tal que resuelve la ecuación algebraica de segundo grado

x^2+1=0.

y tal número ¡no es un número real!.

Es a partir de este nuevo número, que no puede ser ninguno de los que conocemos hasta el momento, y que reselve la ecuación anterior, que construimos un nuevo conjunto de números, que llamaremos el conjunto de números complejos, al cual denotaremos mediante el símbolo \mathbb{C}.

Así, un número complejo será un número z el cual tiene la forma z=a+ib, donde a y b son cualquier  pareja de números reales. Por ejemplo, si tomamos a=5 y b=9, tenemos el número comlplejo

z=5+9i.

De esta forma,

\mathbb{C}=\left\{z\; | \; z=a+ib, \, a,b\in\mathbb{R}\right\}.

Dado un número complejo z=a+ib, el número a será llamado la parte real de z y la denotaremos como a=Re(z); mientras que al número b lo llamaremos la parte imaginaria de z y la notación que usaremos para este será b=Im(z).

Ejemplo. Para el número complejo z=-5+9i,

Re(z)=-5 e Im(z)=9.

ARITMÉTICA DE NÚMEROS COMPLEJOS
1.- SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS

dados los números complejos z=a+ib,                w=c+id, definimos su suma z+w de la siguiente forma. La parte real de z+w será igual a la suma de las partes reales de z y w, y la parte imaginaria de z+w será definida como la suma de las partes imaginarias de z y w. Es decir,

z+w=(a+c)+i(b+d).

Por ejemplo, si z=2+8i y w=-5+4i, entonces, al ser

2=Re(z), -5=Re(w) y 8=Im(z), 4=Im(w),

tenemos que

z+w=(2+(-5))+(8+4)i=-3+12i.

2.-  RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS

Dados los números complejos z=a+ib y w=c+id definimos la resta del modo siguiente. La parte real de z+w estará dada por la resta de las partes reales  a=Re(z), c=Re(w) de z y w y la parte imaginaria $Im(z+w)$ de z+w estará dada por la resta de las partes imaginarias  b=Im(z), d=Im(w) de z y w, respectivamente. En resumen,

z-w=(a-c)+(b-d)i

Si z=-2+8i y w=7-9i, entonces, al ser

z-w=(Re(z)-Re(w))+(Im(z)-Im(w))i,

tenemos que

z-w=(Re(z)-Re(w))+(Im(z)-Im(w))i=((-2)-(7))+((8)-(-9))i=(-2-7)+(8+9)i=-9+17i.

3.- MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Dados los números complejos z=a+ib y w=c+id, definimos el producto de ellos como

z\cdot w=(a+ib)\cdot (c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc).

Veamos que esta definición es bastanmte natural, pues

(a+ib)\cdot (c+id)=ac+iad+ibc+i^2bd=ac+i(ad+bc)-bd=(ac-bd)+i(ad+bc).

Al considerar los números complejos z=2-3i y w=4+5i, su producto ó multiplicación se calcula como sigue,

z\cdot w=(2-3i)\cdot (4+5i)=(2)(4)+i(2)(5)+i(-3)(4)+i^2(-3)(5)=8+10i-12i-(-15)=8-2i+15=23-2i.

4.- DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Antes de definir el cociente o división de dos números complejos, pondremos nuestra atención en dos conceptos que serán de utilidad para trabajar la división de números complejos. El primero de tales conceptos es el de conjugado complejo de un número complejo. Dado un número comlejo z=a+ib, definimos su conjugado complejo como el número complejo \overline{z} dado por

\overline{z}=a-ib.

Así, si z=4-7i, entonces a=Re(z)=4 y b=Im(z)=-7, por lo que

\overline z=a-ib=4-i(-7)=4+7i.

El segundo concepto que necesitamos es el de módulo de un número complejo z. Para definirlo, consideremos el número complejo z=a+ib. El módulo |z|, de z se define como

|z|=\sqrt{z\cdot \overline z}.

Observemos que

z\cdot \overline{z}

es igual a (a+ib)\cdot (a-ib), pero

(a+ib)(a-ib)=(a)(a)+i(a)(-b)+i(b)(a)+i^2(b)(-b)=a^2-abi+abi-(b)(-b)=a^2+b^2.

Por lo tanto, hemos probado que

z\cdot \overline z=a^2+b^2,

(el producto de un número complejo y su conjugado complejo es igual a la suma del cuadrado de su parte real y el cuadrado de su parte imaginaria),

es decir,

|z|^2=z\cdot \overline z=a^2+b^2.

Usaremos lo visto en los anteriores párrafos para calcular el cociente o división de dos números complejos z=a+ib y w=c+id, cuando w\neq 0.

En el cociente,

\frac{z}{w}

racionalizamos el denominador, multiplicando y dividiendo por \overline w, el conjugado complejo de w, obeteniendo,

\frac{z}{w}=\frac{z\overline w}{w\overline w}=\frac{z\overline w}{|w|^2}

que en términos de las partes real e imaginaria de z y w se escribe como

.\frac{z}{w}=\frac{z\overline w}{|w|^2}=\frac{(a+ib)(c-id)}{c^2+d^2}

Para calcular el cociente de dos números complejos podríamos usar la expresión anterior, por ejemplo si z=a+ib=5+2i y w=c+id=1+i, tendríamos que

\frac{z}{w}=\frac{5+2i}{1+i}=\frac{(5+2i)(1-i)}{1^2+1^2}=\frac{(5)(1)+i(5)(-1)+i(2)(1)+i^2(2)(1)}{2}=\frac{1-3i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i

Pero, quien esto escribe para tí, amable lector, sugiere realizar el procedimiento planteado, multip`licar y dividir por el complejo conjugado del núero complejo que se encuentra en el denominador, como lo haremos en el siguiente ejemplo.

 Tomemos z=-3-2i y w=4-8i y calculemos el cociente \frac{z}{w}. Para ello debemos realizar los siguientes cálculos

\frac{z}{w}=\frac{-3-2i}{4-8i}=\frac{(-3-2i)(\overline{4-8i})}{(4-8i)(\overline{4-8i})}=\frac{(-3-2i)(4+8i)}{(4-8i)(4+8i)}=\frac{(-3)(4)+(-3)(8)i+(-2)(4)i+i^2(-2)(8)}{4^2+8^2}=\frac{-12-24i-8i-(-16)}{80}=\frac{4-32i}{80}=\frac{4}{80}-\frac{32}{80}i=\frac{1}{20}-\frac{2}{5}i.

5.- PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

El conjunto de números complejos \mathbb{C} cumple con todas las propiedades conocidas de los números reales. Por completez enunciamos las propiedades para los números complejos. Primero veremos las propiedades para la suma de números complejos. S.1 Cerradura de la suma de números complejos. Dados  z=a+ib, w=c+id\in\mathbb{C}, se tiene que

z+w=(a+c)+(b+d)i\in\mathbb{C},

S.2 Conmutatividad de la suma. Dados z, w\in\mathbb{C}, se tiene que

 z+w=w+z,

S.3 Asociatividad de la suma de tres números complejos. Dados z,w,u\in\mathbb{C}, se cumple que

z+(w+u)=(z+w)+u. S.4 Existencia de neutro aditivo. Existe 0_\mathbb{C}\in\mathbb{C} tal que para cualquier  z\in\mathbb{C} se cumple que z+0_\mathbb{C}=z. Observemos que la única opción intuitivamente natural es tomar 0_\mathbb{C}=0+0i. Le dejamos al lector la tarea de verificar que este número complejo cumple la propiedad requerida. Por simplicidad, al neutro aditivo 0_\mathbb{C} lo denotaremos sin en subíndice \mathbb{C}, es decir, por 0.

S.5 Existencia de inverso aditivo. Para cada z\in\mathbb{C} existe un elemento w_z\in\mathbb{C} (el cual depende de z) tal que z+w_z=0.

La multiplicación o producto de dos números complejos cumple con las siguientes propiedades. Si lo pensamos con cuidado nos daremos cuenta que las siguientes propiedades para el producto son semejantes a aquellas que hemos visto para la suma. P1.- Cerradura del producto: Dados dos números complejos z,w, z\cdot w, el producto de ellos es también un número complejo; es decir, z\cdot w\in\mathbb{C}. P2.- Conmutatividad del producto.Para cualesquiera dos números complejos z,w, se satisface que  z\cdot w=w\cdot z.

P3.- Asociatividad del  producto de tres números complejos. Dados z,w,u\in\mathbb{C}, se cumple que

z\cdot (w\cdot u)=(z\cdot w)\cdot u. P4. Existencia de neutro multiplicativo. Existe un número complejo 1_\mathbb{C} tal que para cualquier número complejo z se satisface que 1_\mathbb{C}\cdot z=z. Si lo pensamos un poco, no tardamos en darnos cuenta que el neutro multiplicativo 1_\mathbb{C} debe estar dado por 1_\mathbb{C}=1+0i. El lector podrá verificar sin gran trabajo que éste número satisface la propiedad requerida. Para evitar estar escribiendo el subíndice \mathbb{C} al considerar el neutro multiplicativo, lo denotaremos simplemente por 1, en lugar de 1_\mathbb{C}. P5.- Existencia del inverso multiplicativo. Si z\in\mathbb{C} es no nulo, entonces existe un número complejo, el cual denotaremos por z^{-1} tal que z\cdot z^{-1}=1. En este caso hallar quien debe ser z^{-1} dado z no es tan simple, aunque pensándolo bien, quizá no sea tan complicado. Como se han dejado como ejercicios al lector las otras propiedades de los números complejos, podemos dedicarle un poco de tiempo a esta cuestión. Para hallar z^{-1}, supongamos que realmente existe dicho número complejo. Como z y z^{-1} son número complejos entonces es posible escribirlos como z^{-1}=x+iy y z=a+ib , respectivamente. Por la propiedad de que su producto debe ser igual al neutro multiplicativo, entonces cumplen la igualdad

(a+ib)(x+iy)=1,

intuitivamente, de lo que sabemos de la aritmética de los números reales, quizá el número que buscamos sea \frac{1}{a+ib}.

Observemos que \frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i

Si nuestra intuición fuese correcta, tendría que ocurrir que el número complejo que buscamos z^{-1}=x+iy esté dado por x+iy=\frac{1}{a+ib}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i. Dejemos al lector la tarea de verificar que nuestra intuición era correcta y que la igualdad (a+ib)(x+iy)=1 es cierta si tomamos x+iy=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i. Para terminar, no debemos perder de vista el hecho de que z\neq 0, por lo que a^2+b^2\neq 0. Es decir, ninguna de sus partes real a ni imaginaria b se anulan. Hasta el momento, hemos visto, por separado, las propiedades de la suma S1,…,S5 y las del producto P1,…,P5. Dichas propiedades, no relacionan la suma con el producto. La propiedad que las relaciona es la propiedad distributiva. D.- Propiedad distributiva. Dados los números complejos z,w,u, se satisface la igualdad

z(w+u)=zw+zu.

Al igual que en los números reales, esta es la propiedad que nos permite el proceso de factorización tan común en la aritmética como en el álgebra con las que estamos tan familiarizados y que en algún momento de nuestras vidas nos han hecho parafrasear al mismo Newton cuando estudió el movimeinto de un sistema SOL-TIERRA-LUNA, conocido entre los especialistas como el problema de tres cuerpos,… “el problema de tres cuerpos me provoca serios dolores de cabeza” .

De esta forma hasta el momento nos hemos concentrado en los aspectos aritméticos y algebraicos de los números complejos. Pero estos también tienen una muy interesante geometría, como veremos a continuación. “¿Cómo?” se preguntará el lector, “¿Tienen algún fundamento geométrico?”.

Veamos, aparte del símbolo i, se necesitan dos números reales a y b para determinar el número complejo $z=a+ib.$ Así, al número complejo le podemos asociar elpar ordenado de números reales (a,b), donde la primera entrada es la parte real de z, mientras que b, la parte imaginaria de z es la segunda entrada del par ordenado dao anteriormente. “¡Ah, caigo en la cuenta!”, exclamará el lector,  este par ordenado lo puedo visualizar como un vector \overline v en el plano, el cual está anclado en el origen,  o como un punto P.El punto P es el extremo opuesto al origen del vector. Es decir, el número complejo z=a+ib ¡está relacionado biunívocamente con un vector o un punto del plano!

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