Existencia y unicidad de soluciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden

Una herramienta importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias es el llamado teorema de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias.

Supongamos que la  población P(t) de una especie obedece a un modelo dado por un problema con condición inicial dado por

\frac{dP}{dt}=f(P,t), \hskip1cm P(t_0)=P_0.

Si el problema tuviera dos soluciones P_1(t) y P_1(t), tendríamos dos comportamientos diferentes para la población, es decir para tiempos diferentes de t=0, tendríamos dos posible valores valores de la población. ¿ cuál de ellos sería la posible?.  Una situación de esta forma no sería deseable. Sería mejor poder hallar condiciones sobre la función f(P,t) que nos garantizara que para la condición inicial,

  • El problema con condición inicial \frac{dP}{dt}=f(P,t), \hskip1cm P(t_0)=P_0 tenga al menos una solución \phi(t)
  • que la solución \phi(t) sea única.

De esta forma debemos responder a dos interrogantes. La respuesta a la primera cuestión sobre la existencia de  al menos una solución para el problema con condición inicial la da el siguiente resultado

TEOREMA DE EXISTENCIA: Dado el problema con condición inicial \frac{dy}{dt}=f(y,t), \hskip1cm y(t_0)=y_0, si la función f es continua en una región \Omega del plano y (t_0,y_0)\in \Omega, entonces existen \epsilon>0 y una funciòn \phi:(t_0-\epsilon,t_0+\epsilon)\rightarrow R que resuelve el problema con condición inicial. Es decir

\frac{d\phi(t)}{dt}=f(t,\phi(t)) para cada t\in (t_0-\epsilon,t_0+\epsilon)
y
\phi(t_0)=y_0.

Ejemplo: Consideremos la ecuación diferencial con condición inicial

\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}\hskip1cm y(2)=3.

En este caso f(t,y)=\frac{y}{t} y (t_0,y_0)=(2,3). Además la función f es continua en la región \Omega dada por el semiplano superior y   el punto (t_0,y_0)=(2,3)\in \Omega. De esta forma se satisface la condición del teorema de existencia y podemos garantizar que el problema con condición inicial tiene al menos una solución. Observemos que el teorema no nos garantiza que la solución, que hemos asegurado existe, sea única.

El siguiente resultado nos da condiciones que debe satisfacer la función f(t,y) en el punto (t_0,y_0) para que no solo podamos asegurar la existencia de al menos una solución al problema con condición inicial, sino que también podamos garantizar que la solución existente sea única.

TEOREMA DE UNICIDAD: Para el problema con condición inicial \frac{dy}{dt}=f(y,t), \hskip1cm y(t_0)=y_0, si las funciones f y \frac{\partial f}{\partial y} son continuas en una región \Omega del plano y (t_0,y_0)\in \Omega, entonces existen

\epsilon>0

y una única función

\phi:(t_0-\epsilon,t_0+\epsilon)\rightarrow R

que resuelve el problema con condición inicial. Es decir, tal que

\frac{d\phi(t)}{dt}=f(t,\phi(t))

para cada t\in (t_0-\epsilon,t_0+\epsilon)

y

\phi(t_0)=y_0.

Ejemplo: Consideremos el problema con condición inicial

\frac{dy}{dt}=\sqrt{y-t}, \hskip1cm y(1)=5.

Es de notar que f(t,y)=\sqrt{t+y} y que el dominio donde esta función es continua es la región del plano

\Omega=\left\{ (t,y) \; | \; y-t\> 0 \right\}=\left\{ (t,y) \; |\; y> t \right\}

el cual es el conjunto de puntos de puntos del plano que se encuentran por encima de la recta identidad y=t.

Además la función \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2\sqrt{y-t}} también es continua en la misma región \Omega.

De esta forma ambas funciones f y \frac{\partial f}{\partial y} son continuas en la región \Omega. Por lo tanto, para cada condición inicial (t_0,y_0)\in \Omega, el problema con condición inicial

\frac{dy}{dt}=\sqrt{y-t}, \hskip1cm y(t_0)=y_0.

tiene solución y esta es única. En particular, existe solución al problema con condición inicial

\frac{dy}{dt}=\sqrt{y-t}, \hskip1cm y(1)=5,

y la solución es única.

EJERCICIOS: CONSIDERE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES Y DETERMINE LOS SUBCONJUNTOS DEL PLANO (t,y) donde podamos asegurar

  1. Para cada condición inicial en tal subconjunto la ecuación diferencial tiene al menos una solución que satisface tal condición inicial
  2. Dado un punto (condición inicial) en tal subconjunto, la solución de la ecuación diferencial que satisfae la condición inicial es única.
  • y'=\frac{1}{2t+y}.
  • y'=t^{1/3}.
  • y'=y^{1/3}.

Consideremos la ecuación diferencial y'=y^{1/5}. En este caso f(t,y)=y^{1/5} y esta función es continua en todo el plano R^2. Por el teorema de existencia de soluciones de ecuaciones diferenciles,  para cualquier punto (condición inicial) dado por (t_0,y_0) en el plano existe al menos una solución de la ecuación diferencial que pasa por el punto (t_0,y_0). Observemos que la continuidad de la función f no es suficiente para garantizar que la solución existente sea única. Solamente podemos asegurar la existenca de al menos una solución que satisface la condición inicial.

Para asegurar la unicidad de la solución necesitamos verificar la condición que la función \frac{\partial f}{\partial y} sea también continua en el punto (t_0,y_0).

Pero

\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial y^{1/5}}{\partial y}=\frac{1}{5} \frac{1}{y^{4/5}}

es continua en el plano R^2 salvo cuando y=0. Es decir,  en el plano, excepto el eje x.

En consecuencia de lo anterior, si la condición inicial (t_0,y_0) no se encuentra sobre el eje x,por ejemplo (t_0,y_0)=(2,3), entonces al ser  las funciones f y \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{5} \frac{1}{y^{4/5}} continuas en el punto (t_0,y_0) podemos garantizar no solo que al menos existe una solución que pasa por ese punto, sino también que dicha solución debe ser única.

ProbsExistenciaYunicidad

Anuncios