Existencia y unicidad de soluciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden

Una herramienta importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias es el llamado teorema de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias.

Supongamos que la  población P(t) de una especie obedece a un modelo dado por un problema con condición inicial dado por

\frac{dP}{dt}=f(P,t), \hskip1cm P(t_0)=P_0.

Si el problema tuviera dos soluciones P_1(t) y P_1(t), tendríamos dos comportamientos diferentes para la población, es decir para tiempos diferentes de t=0, tendríamos dos posible valores valores de la población. ¿ cuál de ellos sería la posible?.  Una situación de esta forma no sería deseable. Sería mejor poder hallar condiciones sobre la función f(P,t) que nos garantizara que para la condición inicial,

  • El problema con condición inicial \frac{dP}{dt}=f(P,t), \hskip1cm P(t_0)=P_0 tenga al menos una solución \phi(t)
  • que la solución \phi(t) sea única.

De esta forma debemos responder a dos interrogantes. La respuesta a la primera cuestión sobre la existencia de  al menos una solución para el problema con condición inicial la da el siguiente resultado

TEOREMA DE EXISTENCIA: Dado el problema con condición inicial \frac{dy}{dt}=f(y,t), \hskip1cm y(t_0)=y_0, si la función f es continua en una región \Omega del plano y (t_0,y_0)\in \Omega, entonces existen \epsilon>0 y una funciòn \phi:(t_0-\epsilon,t_0+\epsilon)\rightarrow R que resuelve el problema con condición inicial. Es decir

\frac{d\phi(t)}{dt}=f(t,\phi(t)) para cada t\in (t_0-\epsilon,t_0+\epsilon)
y
\phi(t_0)=y_0.

Ejemplo: Consideremos la ecuación diferencial con condición inicial

\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}\hskip1cm y(2)=3.

En este caso f(t,y)=\frac{y}{t} y (t_0,y_0)=(2,3). Además la función f es continua en la región \Omega dada por el semiplano superior y   el punto (t_0,y_0)=(2,3)\in \Omega. De esta forma se satisface la condición del teorema de existencia y podemos garantizar que el problema con condición inicial tiene al menos una solución. Observemos que el teorema no nos garantiza que la solución, que hemos asegurado existe, sea única.

El siguiente resultado nos da condiciones que debe satisfacer la función f(t,y) en el punto (t_0,y_0) para que no solo podamos asegurar la existencia de al menos una solución al problema con condición inicial, sino que también podamos garantizar que la solución existente sea única.

TEOREMA DE UNICIDAD: Para el problema con condición inicial \frac{dy}{dt}=f(y,t), \hskip1cm y(t_0)=y_0, si las funciones f y \frac{\partial f}{\partial y} son continuas en una región \Omega del plano y (t_0,y_0)\in \Omega, entonces existen

\epsilon>0

y una única función

\phi:(t_0-\epsilon,t_0+\epsilon)\rightarrow R

que resuelve el problema con condición inicial. Es decir, tal que

\frac{d\phi(t)}{dt}=f(t,\phi(t))

para cada t\in (t_0-\epsilon,t_0+\epsilon)

y

\phi(t_0)=y_0.

Ejemplo: Consideremos el problema con condición inicial

\frac{dy}{dt}=\sqrt{y-t}, \hskip1cm y(1)=5.

Es de notar que f(t,y)=\sqrt{t+y} y que el dominio donde esta función es continua es la región del plano

\Omega=\left\{ (t,y) \; | \; y-t\> 0 \right\}=\left\{ (t,y) \; |\; y> t \right\}

el cual es el conjunto de puntos de puntos del plano que se encuentran por encima de la recta identidad y=t.

Además la función \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2\sqrt{y-t}} también es continua en la misma región \Omega.

De esta forma ambas funciones f y \frac{\partial f}{\partial y} son continuas en la región \Omega. Por lo tanto, para cada condición inicial (t_0,y_0)\in \Omega, el problema con condición inicial

\frac{dy}{dt}=\sqrt{y-t}, \hskip1cm y(t_0)=y_0.

tiene solución y esta es única. En particular, existe solución al problema con condición inicial

\frac{dy}{dt}=\sqrt{y-t}, \hskip1cm y(1)=5,

y la solución es única.

EJERCICIOS: CONSIDERE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES Y DETERMINE LOS SUBCONJUNTOS DEL PLANO (t,y) donde podamos asegurar

  1. Para cada condición inicial en tal subconjunto la ecuación diferencial tiene al menos una solución que satisface tal condición inicial
  2. Dado un punto (condición inicial) en tal subconjunto, la solución de la ecuación diferencial que satisfae la condición inicial es única.
  • y'=\frac{1}{2t+y}.
  • y'=t^{1/3}.
  • y'=y^{1/3}.

Consideremos la ecuación diferencial y'=y^{1/5}. En este caso f(t,y)=y^{1/5} y esta función es continua en todo el plano R^2. Por el teorema de existencia de soluciones de ecuaciones diferenciles,  para cualquier punto (condición inicial) dado por (t_0,y_0) en el plano existe al menos una solución de la ecuación diferencial que pasa por el punto (t_0,y_0). Observemos que la continuidad de la función f no es suficiente para garantizar que la solución existente sea única. Solamente podemos asegurar la existenca de al menos una solución que satisface la condición inicial.

Para asegurar la unicidad de la solución necesitamos verificar la condición que la función \frac{\partial f}{\partial y} sea también continua en el punto (t_0,y_0).

Pero

\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial y^{1/5}}{\partial y}=\frac{1}{5} \frac{1}{y^{4/5}}

es continua en el plano R^2 salvo cuando y=0. Es decir,  en el plano, excepto el eje x.

En consecuencia de lo anterior, si la condición inicial (t_0,y_0) no se encuentra sobre el eje x,por ejemplo (t_0,y_0)=(2,3), entonces al ser  las funciones f y \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{5} \frac{1}{y^{4/5}} continuas en el punto (t_0,y_0) podemos garantizar no solo que al menos existe una solución que pasa por ese punto, sino también que dicha solución debe ser única.

ProbsExistenciaYunicidad

ECUACIONES DIFERENCIALES BE01 (CBS-UAMI)

TEMARIO CURSO

Habrá 3 exámenes: dos exámenes serán parciales y un global. Todos ellos de carácter obligatorio.

Bajo ninguna circunstancia hay guardado de calificación.

No hay exámenes de reposición.

Horarios de asesoría: martes y jueves de 10:00-12:00 horas en mi oficina o previa cita.

ESCALA DE CALIFICACIONES: [0,6)=NA, [6,7.5)=S, [7.5,9)=B, [9,10]=MB

CONTENIDO SINTÉTICO

CONTENIDO SINTETICO:

1. Introducción a las ecuaciones diferenciales.

1.1 Conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales.

1.2 Constante de integración. Curvas solución.

1.3 Enunciado del Teorema de Cauchy de existencia y unicidad de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con condiciones iniciales.

2. Solución analítica de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

2.1 Ecuación diferencial ordinaria de variables separables. Soluciones;

general y particular.

2.2 Ecuaciones diferenciales lineales. Método de solución y soluciones

general y particular.

3. Métodos cualitativos de análisis de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

3.1 Representación y análisis cualitativo de las ecuaciones diferenciales autónomas. Línea fase.

3.2 Método de las isoclinas.

4. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales.

4.1 Crecimiento y decaimiento exponencial. Migración.

4.2 Ecuación logística. Migración.

4.3 Mezclas.

5. Números complejos.

5.1 Aritmética.

5.2 Forma polar.

5.3 Fórmula de Euler.

5.4 Vectores y valores propios.

6. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con

coeficientes constantes.

6.1 Solución general en términos de valores y vectores propios.

6.2 Problemas de valor inicial.

6.3 Clasificación del punto de equilibrio (0,0) respecto a sus valores;

propios.

6.4 El retrato fase.

6.5 Solución para el caso no homogéneo.

7. Ecuaciones diferenciales de orden superior.

7.1 Equivalencia entre un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

con coeficientes constantes y una ecuación diferencial de orden superior. 1

7.2 Solución general y particular.

8. Aplicaciones de sistemas de ecuaciones diferenciales.

8.1 Modelos estacionarios.

8.2 Modelos de compartimentos.

8.3 Modelos de interacción de especies.

9. Ecuaciones diferenciales parciales.

9.1 Deducción de la ecuación de difusión en una dimensión.

9.2 Solución estacionaria.

9.3  Solución por el método de separación de variables.

9.4  Series de Fourier y su uso en la solución de la ecuación de difusión.

Bibliografía

1. Blanchard, P., Devaney, R. y Hall, G. (1999) Ecuaciones Diferenciales México: International Thompson Editores.

2. Boyce, W. y DiPrima, R. (2001) Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, México: Limusa Wiley.

3. Edwards, C. y Penney, D. (1998) Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones,

España: Pearson Educación.

4. Lomen, D. y Lovelock, D. (2002) Ecuaciones diferenciales a través de modelos, gráficas México: C.E.C.S.A.

5. Neuhauser, C. (2C04) Matemáticas para ciencias, España: Pearson Education.

6. Zill, D. (1999) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones al modelado,:México. International Thompson Editores.

 

Velasco, J. y Viniegra, G. (2000) Notas para el curso de Matemáticas V para CBS, México: UAM-Iztapalapa

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Tarea 1: Resolver los ejercicios 1, 2 y 3 de la sección 0.3. Ecuaciones de orden n de los ejercicios que les fueron enviados viá correo electrónico

Tarea 1: Resolver los ejercicios 1, 2-a, 2-g, 2-l,2-q, 3-a, 3-d, 3-k,8, 10,12, 28,31 de la sección 0.7. Ecuaciones separables

Gráficas faltantes en el documento de tareas ProblemaLineaFase.jpg (Figura1)

ProblemaLineaFase

Ejercicio1Isoclina (Figura2)

Ejercicio1Isoclina

Ejercicio2Isoclina.jpg (Figura2)

Ejercicio2IsoclinaEjercicio3Isoclina.jpg(Figura2)

Ejercicio3IsoclinaEjercicio4Isoclina.jpg(Figura2)

Ejercicio4Isoclina

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PROBLEMA DE TAREA

Sean dos objetos A y B, elaborados con materiales distintos y que se encuentran a una misma temperatura. Si en un mismo instante se introducen en un medio ambiente  que está a una temperatura constante T_{amb}, entonces la temperatura de los objetos cambiará de diferente manera en el medio ambiente en que se han introducido.

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON: La tasa de variación de la temperatura T (con respecto del tiempo) de un objeto es proporcional a la diferencia de la temperatura  del medio ambiente T_{amb} donde se encuentra inmerso y de la temperatura objeto.

En un laboratorio se desea conocer la tasa de variación de temperatura de un cierto material cuando se introduce en un medio ambiente de temperatura T_{amb}=20^\circ \;C, ya que una vez determinada la tasa de variación, se puede conocer el material de que este está hecho. Así, se idea un experimento. Se calienta el objeto a una temperatura de 70^\circ \;, después de 20 minutos, su temperatura ha bajado a 50^\circ \, C.

Modele mediante una ecuación diferencial con condición inicial este problema y resuelve la ecuación diferencial con la condición inicial que ha establecido. De acuerdo con sus resultados, ¿diría usted que el objeto es un buen conductor de calor ? ¿sería preferible usar este material como aislante?

MODELOS DE CRECIMIENTO DE POBLACIÓN

MODELO MALTHUSIANO

En este modelo de crecimiento poblacional se supone que la tasa de variación instantánea de una población es proporcional, en todo momento, a la población existente. Este tipo de modelo se usan para estudiar, por ejemplo, la forma como cambia la población de un cultivo de bacterias cuando estas se repoducen por división celular. Se supone asimismo que las bacterias tienen condiciones adecuadas para su reproducción. La temperatura es apropiada, tienen espacio vital y alimento suficiente.

Si P(t) denota la cantidad de bacterias que hay en el cultivo en el instante t, se tiene que la variación instantánea de esta, dada por \frac{dP}{dt}, es proporcional a la población. Por lo que

\frac{dP}{dt}=kP(t).

Si la población inicial de bacterias es P_0,  usando el método de variables separables, el lector puede mostrar que al tomar P(0)=P_0 como condición inicial, entonces la solución particular está dada por la función

P(t)=P_0e^{kt}.

Es de notar que en este modelo no han sido tomados en cuenta muchos factores que pueden afectar el crecimiento de una población. Entre ellos podemos mencionar una tasa de mortandad por causas naturales, enfermedades, falta de alimento, sobrepoblación, entre otros.

Una primera mejora en nuestro modelo, olvidando que en particular hemos considerado una población de bacterias. Es tomar en cuenta que además de una tasa de generación de nuevos individuos por unidad de tiempo, también hay una tasa de fallecimientos (por causas naturales) por unidad de tiempo.

Si la tasa de nacimientos por unidad de tiempo es proporcional a la población, con constante de proporcionalidad \alpha y la tasa de muertes, en todo instante, también es proporcional a la cantidad de individuos, con constante de proporcionalidad \beta, entonces el modelo poblacional est\’a dao por

\frac{dP}{dt}=\alpha P -\beta P=(\alpha-\beta)P.

Un primer ejercicio consiste en mostrar que si \alpha>\beta entonces la población crecerá exponencialmente, mientras que en el caso \alpha<\beta, tendremos una extinción exponencial de la población.

MODELO LOGÍSTICO

Un modelo más realista que el malthusiano para el estudio de la evolución de una población es el conocido como modelo logístico, dado por la ecuación diferencial \frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right). Un modelo más realista que el malthusiano para el estudio de la evolución de una población es el conocido como modelo logístico, dado por la ecuación diferencial   \frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)., donde la constante K se cono como la capacidad de carga del medio ambiente. Una forma de pensar esta ecuación es partir de un modelo malthusiano \frac{dP}{dt}=\alpha P y considerar que no existe espacio vital o alimento suficiente que permita continuar a la población con un crecimiento malthusiano o exponencial. Tomando en consideración estas hipótesis, se dará un enfrentamiento (por el alimento o por el espacio vital)   de un individuo de la población con otros, de estos enfrentamientos, se producirá la muerte de una parte proporcional de la población, \beta P.  Al tomar en cuenta a todos los individuos de la población y todos los posibles encuentros, se producirá la muerte de  \beta P^2 elementos de la población. Por lo que, el modelo que toma encuenta estas consideraciones sobre la restricción de alimento o de espacio vital está dado por \frac{dP}{dt}=\alpha P-\beta P^2.

  • Suponiendo que una población tiene originalmente un crecimiento malthusiano con constante de crecimiento dado por \alpha=0.2 y constante de decrecimiento \beta=0.00081 debido a encuentros de los individuos al luchar por alimento o espacio vital, obtenga una aproximación de la capacidad de carga del medio ambiente. Suponga que la cantidad de individuos en un instante t=0 es igual a 300 individuos. Establezca un modelo de población con estos datos en términos de una ecuación diferencial de primer orden con condición inicial. Resuelva la ecuación diferencial usando el comando dsolve y grafique la solución. obtenida. Para la condición inicial dada, ¿la población aumentará?, ¿disminuirá?.

Para lograr modelo más realistas de dinámica de poblaciones sería necesario considerar otros elementos que pueden influir en ella, como la aparición de enfermedades o epidemias, fenómenos de emigración o inmigración. Sólo por mencionar algunos.

MEZCLAS:

Consideremos un reactor de mezclado continuo que contiene un volumen inicial V_0 de una mezcla obtenida con un soluto y solvente (pueden ser sal y agua pura, por ejemplo). Supongamos que el reactor tiene conectados dos tubos, A y B,  el primero permite entrada otra mezcla (salina) obtenida con los mismos tipos de soluto y solvente, mientras que el segundo permite la salida de la mezcla. También se considera que al momento de entrar una mezcla (salina) por el tubo A, este se combina homogéneamente  con la existente en el reactor. Esta mezcla homogénea es la que sale por el tubo B del reactor.

Sea S(t) la cantidad de soluto (medido en kg) en el tanque al tiempo t. La cantidad de soluto en el tanque variará dependiendo de la cantidad inicial S_0 de soluto contenida en el volumen V_0

Supongamos que la solución que entra por el tubo A tiene una concentración constante de C_1 Kg/min y además entran L_1 litros/seg de solución al tanque por este tubo. No olvidemos que al entrar esta solución al tanque se mezcla de modo homogéneo por agitación con la mezcla que había previamente en el tanque, de modo que esta nueva mezcla homogénea sale del tanque de mezclado continuo a una razón de L_2 litros por segundo.

Si la cantidad de soluto contenida en el tanque al tiempo t  es de S(t) Kg y V(t) es el volumen de la solución, medida en litros, entonces para cualquier instante la concentración de soluto contenida en el tanque está dada por

\frac{S(t)}{V(t)} Kg/litro

Al entrar solución al tanque y salir solución del mismo, el volumen de solución V(t) contenido en el tanque en todo momento  será igual, mayor o menor al volumen inicial de solución V_0 contenido en el tanque, dependiendo de si la tasa de entrada L_1 de solución al tanque es igual a la tasa de salida L_2 de solución (L_1=L_2), si es mayor a esta (L_1>L_2) o menor a ella (L_1<L_2).

En todo caso, el volumen V(t) de solución  contenido en el tanque, en todo instante está dado por

V(t)=V_0+(L_1-L2)t

Por otra parte, la variación de la cantidad de soluto en el tanque está dada por la diferencia de la cantidad de soluto que entra por unidad de tiempo y la cantidad de soluto que sale, también por unidad de tiempo.

Pero

      cantidad de soluto que entra por unidad de tiempo=C_1 Kg/litro\cdot L_1 litro/min=C_1L_1Kg/min

y

cantidad de soluto que sale por unidad de tiempo=C_2 Kg/litro\cdot L_2 litro/min=C_2L_2Kg/min

Por lo que

\frac{dS(t)}{dt}=C_1L_1-C_2L_2.

pero la concentración C_2(t) de soluto que sale por unidad de tiempo está dada por el cociente de la cantidad de soluto que hay en el tanque al tiempo t y el volumen de solución contenido en el tanque en el mismo instante t; es decir,

C_2(t)=\frac{S(t)}{V(t)}=\frac{S(t)}{V_0+(L_1-L2)t}.

Por lo tanto

\frac{dS(t)}{dt}=C_1L_1-\frac{S(t)}{V_0+(L_1-L2)t}L_2=C_1L_1-\frac{L_2}{V_0+(L_1-L2)t}S(t)

o equivalentemente,

\frac{dS(t)}{dt}+\frac{L_2}{V_0+(L_1-L2)t}S(t)=C_1L_1.

De esta forma, el modelo matemático está dado por el problema con condición inicial

\frac{dS(t)}{dt}+\frac{L_2}{V_0+(L_1-L2)t}S(t)=C_1L_1, \hskip1cm S(0)=S_0.

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REVISAR LOS EJEMPLOS RESUELTOS EN EL ARCHIVO PDF

BE01

MezclasEj2FIGURA 1.34

FIGURA FALTANTE EN EL ARCHIVO PDF BE01.

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MÁS PROBLEMAS PARA RESOLOVER…..

  1.  Considere la ecuación diferencial autónoma P'=-P+P^2-2. a) Encuentre los puntos de equilibrio, b) Grafique la función f(P)=-P+P^2-2 c) Dibuje la línea de fase asociada a la ecuación diferencial dada, d) Bosqueje el campo de direcciones asociado a la ecuación diferencial e) Bosqueje algunas curvas solución de la ecuación diferencial auxiliándose del campo de direcciones hallado en el inciso anterior.  f) Determine sobre la estabilidad de estos puntos de equilibrio hallados en el primer inciso.
  2. Un problema para pensar……  Considere la ecuación diferencial P'(t)=rP\left(\frac{P}{N}-1\right), con N,r constantes positivas (a) Encuentre los puntos de equilibrio de la ecuación diferencial. (b) ¿La ecuación diferencial tiene soluciones constantes?, justifique sus respuesta. Silas hay diga cuáles son las soluciones constantes. (c) Si hay un punto de equilibrio P=P_0 positivo, determine si es estable o inestable.
  3. Poblaciones con valores umbral: Considere un valor positivo U_0, al cual llamaremos valor umbral. Suponiendo que la población de una especie animal tiene una tasa de variación la cual es simultáneamente proporcional  a la población y a la diferencia de la población y el valor umbral. (a) Determine la forma matemática  de esta ley de cambio poblacional.
  4.  Suponga que la tasa de variación de una población de mamíferos satisface la ecuación diferencial P'=kP(P-150), donde la constante k es positiva. (a) Encuentre la solución general P(t) de la ecuación diferencial dada. (b)  Encuentre la solución particular si la población inicial es de 148 individuos. Encuentre \lim_{t\rightarrow \infty}P(t) y determine si la población crece indefinidamente o se tiende a una población constante. (c) Encuentre la solución particular de la ecuación diferencial  si la población inicial es de 151 individuos. Encuentre \lim_{t\rightarrow \infty}P(t) y determine si la población crece indefinidamente o se tiende a una población constante.
  5. Existen algunos modelos de dinámica de poblaciones donde se introduce una función periódica, por ejemplo cosenoidal, con la finalidad de modelar alguna variación en la tasa de crecimiento, que puede depender de la temporada del año, ya que en alguna de ellas hay mayor abundancia de alimento y en otra temporada este escase. Como en cierta temporada aumenta más la población que en otra, por ello, la función periódica debe depender de la variable temporal. De esta forma, se supone que la tasa de variación de la población es simultáneamente proporcional a la población y a la función periódica. En consecuencia, un modelo posible para  una situación semejante a la planteada está dado por el problema con condición inicial P'=kP\cos(\omega t+\phi_0), con P(0)=P_0. Se consideran positivas las tres constantes involucradas: k, \omega y \phi_0. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial y determine el número de mediciones u observaciones que deben hacaerse para determinar completamente la solución del problema con condición inicial.
  6. Un tanque de mezclado continuo con capacidad de 2000 litros contiene  1000 litros de agua pura. Se inicia la inyección de una solución salina con concentración de 0.25 Kg/lt a una tasa de 200 lt/hr. Esta solución  se mezcla automáticamente con el agua pura contenida en el tanque obteniéndose una mezcla homogénea, la cual sale del tanque a una razón de 100 lt/hr. Determine la cantidad de sal en el tanque, así como su concentración  para cualquier tiempo t y calcule la concentración de sal en el instante en el cual el tanque se llena.
  7. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene 300 galones de agua en un inicio, en los que se disolvieron 50 libras de sal. Al tanque entra agua pura con un flujo de 3 gal/min y, con el tanque bien agitado, sale el mismo flujo. Deduzca una ecuación diferencial que exprese la cantidad A(t) de sal que hay en el tanque cuando el tiempo es t y resuelva el problema con condición inicial obtenido.
  8. Suponga que un tanque grande de mezclado continuo contiene al principio 300 galones de agua, en los que se han disuelto 50 Ib de sal. Al tanque entra otra sahnuera a un flujo de 3 gal/min y, estando bien mezclado el contenido del tanque, salen tan sólo 2 gal/min. Si la concentración de la solución que entra es 2 lb/gal, deduzca y resuelva una ecuación diferencial que exprese la cantidad de sal, A(t), que hay en el tanque cuando el tiempo es t.
  9. La ecuación logística para la población P (en miles) de cierta especie en el instante t está dada por la ecuación P'=P(2-P). (a) Si la población inicial es de 3000 elementos, ¿qué se pue de decir acerca de la población límite cuando t\rightarrow\infty? (b) Si la población inicial es de 1000 individuos ¿es posible que lleguen a existir 300 individuos?. (c)  Si la población inicial es de 1000 individuos podrán haber 3500 en algún instante?
  10. Un cultivo tiene una cantidad inicial N_0 de bacterias. Después de 3 horas la cantidad medida de bacterias se ha duplicado. Si la razón de reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, es decir si se supone un crecimiento malthusiano,, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos.
  11. Para un elemento radiactivo, se tiene que después de 12 años, se ha desintegrado el 0.041% de su cantidad inicial $C_0$. Calcule el periodo medio de ese isótopo, es decir, el tiempo que le lleva en desintegrarse la mitad de la cantidad inicial A_0 del elemento radiactivo, si la tasa de desintegración es proporcional a la cantidad presente.

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PARA EL EXAMEN, lunes 30 de septiembre, hora de clase, salón de clase: Resolver problemas de aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer grado: Mezclas, dinámica de poblaciones, decaimiento radiactivo y enfriamiento (ley de Newton.). Ya tienen la lista de problemas de aplicaciones que se les envió vía correo electrónico.

libro Zilllatex 

comportamiento caótico de soluciones en una ecuación diferencial

comportamiento caótico de soluciones en una ecuación diferencial

Otro atractor extraño, el atractor de Ueda

ECUACIONES DIFERENCIALES Y MATLAB

newton**************************************

Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa

Es útil derivar funciones y resolver ecuaciones diferenciales.

Isaac Newton en un comunicado a W. Leibniz

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Mariposa deLorenz

Pequeños cambios en las condiciones iniciales inducen grandes cambios en el comportamiento de las soluciones de la ecuación de Lorenz

Matlab es un entorno computacional que permite realizar cálculo simbólico y simulaciones numéricas, entre otras cosas. Por ejemplo,  podemos resolover simbólica o numéricamente ecuaciones diferenciales. Un modelo simplificado del estudio del flujo atmosférico llevó a E. Lorenz a un sistema de tres ecuaciones diferenciales de primer orden. Es a partir de este ejemplo que Lorenz acuñó lo que dió e llamar el efecto mariposa.

La figura que observamos puede mirarse como las alas de una mariposa al volar. Aquí veremos la forma como se resuelven de modo simbólico ecuaciones diferenciales de primer o segundo orden que tengan una presentación simple. Adimismo, veremos la manera de graficar las soluciones halladas.

En muchas ocasiones resover una ecuación diferencial puede ser prácticamente imposible, en este caso nos queda el recurso de los métodos numéricos para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales.  En esta situación haremos uso de una instrucción en matlab: ode45, que nos permitirá resolver numéricamente una ecuación diferenciall de primer orden o sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Recordemos que una ecuación de primer orden tiene la forma

\frac{dy}{dx}=f(x,y).

Asociada a ella podemos tener una condición inicial

y(x_0)=y_0.

Por ejemplo,

\frac{dy}{dx}=y\sin x

con condición inicial y(\pi)=0.

Un sistema no autónomo de ecuaciones diferenciales en el plano tiene la forma

x'=f_1(x,y,t), \hskip1cm y'=f_2(x,y,t),

donde las funciones

f_1(x,y,t),

 f_2(x,y,t),

son funciones conocidas. Un ejemplo de un sistema de ecuaciones de primer orden en el plano está dado por

x'=x+y-t \hskip1cm y'=2x-3y+\cos t.

En el documento PDF se encuentran instrucciones para resolver ecuaciones diferenciales simbólica y numéricamente usando el ambiente computacional y de visualización Matlab.

Documento PDFEDOSMATLAB

A continuación usaremos la instrucción dsolve para hallar soluciones analíticas de una ecuación diferencial de primer orden.

Una primera forma es escribir la suguiente sucesión de instrucciones en la ventana de comandos en Matlab

>> Solucion1 = dsolve(‘Dy = -3*x*y^2′,’y(0)=5′,’x’)
>> x =-2:0.05:3;
>> y=eval(vectorize(Solucion1));
>> plot(x,y)

el primer renglón define la ecuación diferencial que se desea resolver, y'=-3xy^2, de modo que se satisfaga la condición inicial x(0)=5 en la variable x. Por su parte el segundo renglón determina que se resuelva la ecuación diferencial con la condición inicial dada.  Matlab muestra la salida

Solucion1 =

1/((3*x^2)/2 + 1/5)

en la ventana de comandos, es decir Solucion1=\frac{1}{(3x^2/2)+1/5}, . En el segundo renglón se establece los puntos del intervalo [-2,3] donde se evaluará la solución, de modo que entre ellos haya ua distancia h=0.05. La instrucción del tercer renglón calcula las imágenes de estos puntos bajo la Solución1.  Finalmente, el cuarto renglón da la instrucción para graficar los puntos (x,Solucion1(x)) para los valores de x establecidos en el segundo renglón del programa.

La gráfica que se obtiene es la siguiente

MatlabEj10

 una última línea de la forma

print -djpeg100 Nombre.jpg

permite guardar la figura generada en formato JPG, como Nombre.jpg en el directorio donde se trabaja.

Otra manera de realizar las mismas instrucciones consiste en escribir en la ventana del editor el conjunto de comandos

VentanaEditor3

y guardarlas en un archivo tipo script, el cual podemos llamar Ejemplo1.m . Posteriormente,  con la tecla F5 podemos compilar el archivo y obtener tanto la solucion como  la gráfica recientemente logradas.

La Figura que se obtiene aparece en la  ventana de gráficos.

Si solo deseamos obtener la solución analítica de una ecuación diferencial de primer orden, no es necesario recurrir a escribir un programa, el uso de la ventana de comandos es más simple.

Por ejemplo, si deseamos hallar la solución general de la ecuación diferencial

\frac{dy}{dx}=2y+\cos(x),

solo requerimos escribir la siguiente instrucción en la ventana de comandos

>>  Solucion = dsolve(‘Dy = 2*y+cos(x)’,’x’)

y el resultado que se obtiene en la ventana de comandos es el siguiente

Solucion =

sin(x)/5 – (2*cos(x))/5 + C2*exp(2*x)

Observemos que la solución depende de una constante C2, la cual se obtiene de la constante de integración al resolver Matlab de manera simbólica la ecuación diferencial.

MODELOS DE CRECIMIENTO DE POBLACIÓN

MODELO MALTHUSIANO

En este modelo de crecimiento poblacional se supone que la tasa de variación instantánea de una población es proporcional, en todo momento, a la población existente. Este tipo de modelo se usan para estudiar, por ejemplo, la forma como cambia la población de un cultivo de bacterias cuando estas se repoducen por división celular. Se supone asimismo que las bacterias tienen condiciones adecuadas para su reproducción. La temperatura es apropiada, tienen espacio vital y alimento suficiente.

Si P(t) denota la cantidad de bacterias que hay en el cultivo en el instante t, se tiene que la variación instantánea de esta, dada por \frac{dP}{dt}, es proporcional a la población. Por lo que

\frac{dP}{dt}=kP(t).

Si la población inicial de bacterias es P_0,  usando el método de variables separables, el lector puede mostrar que al tomar P(0)=P_0 como condición inicial, entonces la solución particular está dada por la función

P(t)=P_0e^{kt}.

Es de notar que en este modelo no han sido tomados en cuenta muchos factores que pueden afectar el crecimiento de una población. Entre ellos podemos mencionar una tasa de mortandad por causas naturales, enfermedades, falta de alimento, sobrepoblación, entre otros.

Una primera mejora en nuestro modelo, olvidando que en particular hemos considerado una población de bacterias. Es tomar en cuenta que además de una tasa de generación de nuevos individuos por unidad de tiempo, también hay una tasa de fallecimientos (por causas naturales) por unidad de tiempo.

Si la tasa de nacimientos por unidad de tiempo es proporcional a la población, con constante de proporcionalidad \alpha y la tasa de muertes, en todo instante, también es proporcional a la cantidad de individuos, con constante de proporcionalidad \beta, entonces el modelo poblacional est\’a dao por

\frac{dP}{dt}=\alpha P -\beta P=(\alpha-\beta)P.

Un primer ejercicio consiste en mostrar que si \alpha>\beta entonces la población crecerá exponencialmente, mientras que en el caso \alpha<\beta, tendremos una extinción exponencial de la población.

MODELO LOGÍSTICO

Un modelo más realista que el malthusiano para el estudio de la evolución de una población es el conocido como modelo logístico, dado por la ecuación diferencial \frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right). Un modelo más realista que el malthusiano para el estudio de la evolución de una población es el conocido como modelo logístico, dado por la ecuación diferencial   \frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)., donde la constante K se cono como la capacidad de carga del medio ambiente. Una forma de pensar esta ecuación es partir de un modelo malthusiano \frac{dP}{dt}=\alpha P y considerar que no existe espacio vital o alimento suficiente que permita continuar a la población con un crecimiento malthusiano o exponencial. Tomando en consideración estas hipótesis, se dará un enfrentamiento (por el alimento o por el espacio vital)   de un individuo de la población con otros, de estos enfrentamientos, se producirá la muerte de una parte proporcional de la población, \beta P.  Al tomar en cuenta a todos los individuos de la población y todos los posibles encuentros, se producirá la muerte de  \beta P^2 elementos de la población. Por lo que, el modelo que toma encuenta estas consideraciones sobre la restricción de alimento o de espacio vital está dado por \frac{dP}{dt}=\alpha P-\beta P^2.

  • Suponiendo que una población tiene originalmente un crecimiento malthusiano con constante de crecimiento dado por \alpha=0.2 y constante de decrecimiento \beta=0.00081 debido a encuentros de los individuos al luchar por alimento o espacio vital, obtenga una aproximación de la capacidad de carga del medio ambiente. Suponga que la cantidad de individuos en un instante t=0 es igual a 300 individuos. Establezca un modelo de población con estos datos en términos de una ecuación diferencial de primer orden con condición inicial. Resuelva la ecuación diferencial usando el comando dsolve y grafique la solución. obtenida. Para la condición inicial dada, ¿la población aumentará?, ¿disminuirá?.

Para lograr modelo más realistas de dinámica de poblaciones sería necesario considerar otros elementos que pueden influir en ella, como la aparición de enfermedades o epidemias, fenómenos de emigración o inmigración. Sólo por mencionar algunos.

Ecuaciones diferenciales de primer orden y ode45

Algunas veces las ecuaciones diferenciales que se obienen al modelar algún fenómeno no son fáciles de resolver o simplemente su presentación tiene una forma compleja, de modo que hallar soluciones explícitas o implícitas de manera analítica se convierte en un problema difícil de resolver o de plano la ecuación diferencial no se puede resolver mediante alguno de los métodos conocidos.

En una situación de este estilo solo queda el camino de los métodos numéricos. El lector se dirá :“¡pero, yo no sé nada de métodos numéricos!”. Aún en una situación así, Matlab tiene ya establecidas rutinas numéricas que podemos usar y nos permiten aproximar soluciones para un problema con condición inicial.

Por ejemplo, consideremos el problema un problema de dinámica de poblaciones que obedece a un modelo logístico

\frac{dP}{dt}=0.0025P(100-P), \hskip1cm P(0)=0.01

aún cuando podemos resover esta ecuación diferencial por el método de variables separables, usemos la instrucción ode45 que nos permitirá obtener una aproximación numérica de la solución a este problema y graficar la solución en un intervalo que consideremos nos puede dar información sobre la solución. Para lograr esto, podemos introducir la siguiente sucesión de instrucciones en la ventana de comandos

>> f = @(x,P) 0.0025*P*(100-P);

>>Intervalo=[0 70];

>>CondInic=0.01;

>>[x,y]=ode45(f,Intervalo,CondInic);

>>plot(x,y)

O en su caso, crear un programa en un archivo tipo script que contenga la misma sucesión de instrucciones

f = @(t,P) 0.0025*P*(100-P);

% función f(t,P)=0.0025*P*(100-P)
Intervalo=[0 70];

% intervalo sobre el cual se realizará la aproximación numérica
CondInic=0.01;

% Condición inicial de la ec’n diferencial P(0)=0.01
[t,P]=ode45(f,Intervalo,CondInic);

% gneración de vectores t y P
plot(t,P, ‘r’,’LineWidth’,2)

% se grafican los puntos (t,P) para obrener la grafica de la                                                %aproximación de la solucion del problema con condición inicial
grid on

% se grafica el enmallado
axis([0 70 -5 105])

% la grafica aparecerá en la ventana dada pr el rectangulo

% [0, 70]X[-5, 105]
print djpeg100 PoblacionLogistica.jpg 

% se guarda la gráfica en el  archivo  PoblacionLogistica.jpg

Recordemos que las expresiones del tipo

% Condición inicial de la ec’n diferencial P(0)=0.01

son comentarios sobre cada una las instrucciones y no forman parte del programa.

El prpograma anterior genera la gráfica siguiente

PoblacionLogistica

Sistemas de Ecuaciones diferenciales de primer orden y ode45

Asimismo, usando la sintexis de para resover una ecuación diferencial ordinaria, la podemos usar para sistemas de ecuaciones de primer orden,

x'=f_1(x,y,t) \hskip2cm y'=f_2(x,y,t

donde las funciones

f_1(x,y,t)

y

f_2(x,y,t)

son funciones conocidas. Por ejemplo, para el sistema de ecuaciones diferenciales

x'=2xy+\sin t,\hskip2cm x'=x+3y.

se tiene que  f_1(x,y,t)=2xy+\sin t y f_2(x,y,t)=x+3y.

Existen muchos campos de las ciencias y las ingenierías donde se usan las ecuaciones diferenciales para modelar distintos fenómenos.

A lo largo de la historia de la humanidad, las enfermedades nos han compañado. Se establecido modelos de propagación de enfermedades. Uno de los modelos más clásicos divide a una población N en tres tipos de elementos, susceptibles de contraer la enfermedad, infectados, aquellos individuos que han contraído la enfermedad y recuperados, quienes por alguna razón se han recuperado de ella: Estos subgrupos son mutualmente excluyentes. Un individuos no puede pertenecer a dos grupos simultáneamente.

Un individuo suceptible puede enfermar y posteriormente se recuperará de la enfermedad. Una vez recuperado no puede contraerla nuevamente.

Este modelo que se conoce como SIR, está dado por el siguiente conjunto de tres ecuaciones diferenciales

S'=-aSI,\hskip1cm I'=aSI-bI, \hskip1cm R'=bI

propuesto por Kermack y McKendrick. Las condiciones iniciales para este sistema están dadas por S(0)=S_0, I(0)=I_0 y R(0)=R_0. Si sumamos las tres ecuciones diferenciales se tiene que

N'=S'+I'+R'=0

por lo que la población total N=S+I+R es constante.

Usemos la instrucción ode45 para visualizar las soluciones del sistema de ecucaiones diferenciales para cirtos valores de los parámetros a y b, así como para una terna de condiciones iniciales.

Tomemos la constante de infección de los susceptibles como  a=0.01 y la tasa de recuperación de los infectados igual a b=0.1. Asimismo, consideremos una población de 100 individuos, con uno infectado, 999 susceptibles y ninguno recuperado.

Para realizar la simulación primero se requiere definir un archivo tipo función donde se establezca el sistema de ecuaciones diferenciales del modelo SIR. Las siguientes instrucciones realizan esta tarea

function SIR =ModeloSIR(t,y)
TasInf = .018;
TasRecup = .1;
SIR(1) =-TasInf*y(1)*y(2); % Cambio de Susceptibles
SIR(2) = TasInf*y(1)*y(2)-TasRecup*y(2); % cambio de infectados
SIR(3) = TasRecup*y(2); % tasa de recuperación
SIR = [SIR(1) SIR(2) SIR(3)]’;

estas instrucciones se deben guardar en un archivo que se llamará ModeloSIR.m Observemos los valores que se han establecido para los parámetros asociados a las tasas de infección y recuperación de los elementos de la población.

Una vez establecido el sistema de ecuaciones diferenciales en este archivo, necesitamos ahora un archivo tipo script en el cual se den las instrucciones que permitan resolver numéricamente el sistema de ecuaciones diferenciales para los valores parámetros establecidos y las condiciones iniciales dadas. Finalmente se muestran simultáneamente las gráficas para las poblaciones de susceptibles (S), infectados (I)  y recuperados (R) en el intervalo [0,50].

tinic = 0;
tfinal =50;
Intervalo=[tinic,tfinal];
CIs = [99 1 0];
[t y] = ode45(‘ModeloSIR’,Intervalo,CIs);
plot(t,y(:,1),’-sr’,t,y(:,2),’:>g’,t,y(:,3),’py’)

La gráfica que obtenemos es muy semejante a la que se muestra a continuación.

MatlabEj12SIR

Estimado lector de este blog, le sugiero leer la entrada  “Métodos numéricos en ecuaciones diferenciales” que se encuentra también en este blog y que ha sido añadida recientemente.